（不等式的解法A）无理不等式的解法.docVIP

无理不等式的解法 一、两边平方法 解无理不等式，首先要保证每一个根式都有意义，其次，讨论不等式两边的符号，只有当不等式两边都为非负数时，才能平方去掉根号，将其转化为有理不等式来解，从而可将原不等式转化为与其同解的有理不等式组，归纳起来，一般有如下三种类型及其等价变形过程： ① ② ③ 例1 （1991年三南高考试题） 解不等式 解：原不等式 （Ⅰ） （Ⅱ） ∴原不等式的解集为 例2 解不等式 解：由 ① 原不等式可化为（*） 由①知非负，将不等式（*）两边平方并整理，得 （**） 由①知3－x≥0,再将不等式（**）两边平方，得0＜x＜3 ② 由①②得原不等式的解集为（0，3）. 二、换元法 1．设转化为不含根号的t的不等式来解. 例3 不等式的解集是 . 解：令，则t≥0且x=1－t2,原不等式化为t＞1－t2,即t2＋t－1＞0,解此不等式并结合t≥0可得t＞，即＞， ∴x＜，故原不等式的解集为{x|x＜} 例4 解不等式 解：令，则t≥0且x=t2－3,原不等式化为t＞2－|t2－3|,即|t2－3|＞2－tt2－3＞2－t或t2－3＜t－2t2＋t－5＞0或t2－t－1＜0. 解不等式t2＋t－5＞0并结合t≥0可得t＞,即＞x＞ 解不等式t2－t－1＜0并结合t≥0可得0≤t＜,即0≤＜－3≤x＜. ∴原不等式的解集为 2．利用三角代换去根号 例5 不等式＜x+2的解集是 . 解：由4－x2≥0,得|x|≤2 令,则原方程可化为2cosθ＜2sinθ+2,即cosθ－sinθ＜1 ∴ 由 ∴ ∴0＜sinθ≤1 故原不等式的解集为{x|0＜x≤2} 三、数形结合法 例6 同例3 解：在同一直角坐标系内作函数得 由图知xA＞0,∴xA= 当x＜xA时，有y1＞y2 ∴原不等式的解集为{x|x＜} —1—