棱柱典例剖析(第二课时).docVIP

［例1］长方体ABCD—A1B1C1D1中(1)设对角线D1B与自D1出发的三条棱分别成α，β，γ角，求证cos2α＋cos2β＋cos2γ＝１. (2)设D1B与经过D1的三个表面成α，β，γ角，求证cos2α＋cos2β＋cos2γ＝2. 选题意图:考查长方体的性质. 证明：(1)连结BC1，不妨设∠BD1C1=α，如图9—127，长方体的三条棱长分别为a,b,c，设D1B=l，则cos2α＝ (2)连结D1C， ∵BC⊥平面DCC1D1，∴∠BD1C就是D1B与平面DCC1D1所成的角，不妨设∠BD1C＝α，则 ［例2］求证:(1)平行六面体的各对角线交于一点,并且在这一点互相平分;(2)对角线相等的平行六面体是长方体. 选题意图:考查平行六面体的性质及长方体的一种判定方法. (1)已知:平行六面体AC1. 求证:AC1、BD、CA1、DB1交于一点且互相平分. 证明:∵AA1 ∥= BB1 BB1 ∥ =CC1,∴AA1 ∥ =CC1 ∴AA1C1C是平行四边形. ∴CA1与AC1相交,且互相平分. 设交点O,即CA1过AC1的中点O. 同理可证BD1与AC1、DB1与AC1也相交,且互相平分,交点也是O. ∴AC1、BD1、DB1、CA1交于一点,且互相平分. (2)已知:平行六面体AC1,对角线A1C、B1D、C1A、D1B相等. 求证:平行六面体AC1是长方体. 证明:∵平行六面体AC1的对角面A1C1CA、B1D1DB都是平行四边形,且它们的对角线A1C、B1D、C1A、D1B都相等, ∴对角面A1C1CA、B1D1DB都是矩形. 由此可得CC1⊥A1C1,BB1⊥B1D1, 又BB1∥CC1,∴BB1⊥A1C1 ∴BB1⊥平面A1C1 ∴平行六面体A1C是直平行六面体. 同理可证CB⊥平面A1B,则BC⊥AB. ∴平面四边形ABCD是矩形. ∴直平行六面体A1C是长方体. 说明:证明平行六面体对角线互相平分就是证O是各对角线的中点.平行六面体的对角线相等时,平行六面体即为长方体. ［例3］已知棱柱ABC—A′B′C′的侧面BCC′B′的面积为S,棱AA′到平面BCC′B′的距离为d,求三棱柱ABC—A′B′C′的体积V. 解:以四边形AA′C′C为对角面把三棱柱ABC—A′B′C′补成四棱柱ABCD—,则此四棱柱为平行六面体.把四边形BB′C′C看作四棱柱的底面,则四棱柱的高度为AA′到平面BB′C′C的距离d.所以四棱柱的体积为Sd.显然三棱柱ABC—A′B′C′的体积为四棱柱ABCD—A′B′C′D′的体积的一半. 说明:把三棱柱补成四棱柱后,求三棱柱体积的问题转化为四棱柱体积问题.有些求解三棱柱的问题,补成四棱柱(平行六面体)后再求解有时比较方便. 图9—127 图9—128 图9—129