2026高一数学同步5.2.2 同角三角函数的基本关系 （导学案）（原卷版）数学人教A版2019必修第一册 .docxVIP

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好好学习

5.2.2同角三角函数的基本关系导学案

理解并掌握同角三角函数基本关系的推导与适用条件。

能根据已知三角函数值，利用基本关系求其余函数值，并正确判断符号。

能化简含同角的三角函数式并证明简单恒等式，体验“化切为弦”?“1的代换”等策略。

在真实情境中抽象出三角关系模型，发展数学建模与逻辑推理素养。

教学重点：理解并掌握同角三角函数基本关系式的推导及应用；

教学难点：会利用同角三角函数的基本关系式进行化简、求值与恒等式证明．

温故知新

知识点同角三角函数的基本关系

同角三角函数的基本关系

关系式

语言叙述

平方关系

同一个角α的正弦、余弦的等于1

商数关系

同一个角α的正弦、余弦的等于角α的正切

导入新知

导入1：抖音挑战

教师播放15秒短视频：一位滑板少年在U形池中完成180°转体，镜头定格在腾空瞬间。字幕弹出：“滑板的腾空角度θ已知，如何不用测角仪快速算出他落地瞬间的水平速度与垂直速度之比？”

导入2：校园广播

早读时广播传来通知：“请全体高一同学于今日14:00前到体育馆领取校服。”有同学嘀咕：“真的‘全体’吗？如果有人请假呢？’’

教师抓住“全体”?“有人”两词，追问：如果把广播改写成数学命题，它的否定该怎么写？这与我们今天要学的“平方和等于1”似乎不搭边，但它们都涉及“条件与结论”的逻辑！

“一支竹篙啊，难渡汪洋海，众人划桨哟，开动大帆船，一棵小树呀，弱不禁风雨，百里森林哟，并肩耐岁寒，耐岁寒，一加十，十加百，百加千千万，你加我，我加你，大家心相连，同舟共济海让路，号子嘛一喊浪靠边，百舸嘛争流千帆进，波涛在后岸在前……”一首经典老歌让我们感触很深，歌词中每一句都流露出了“团结就是力量，团结就是胜利”，就像是我们数学中的每一个知识点一样，彼此紧密联系，比如我们刚学过的正弦、余弦和正切函数，它们之间到底有什么样的联系呢，让我们一起去发现．

探究

公式一表明终边相同的角的统一三角函数值相等，那么，终边相同的角的三个三角函数值之间是否也有某种关系呢？

要求：让学生自由发言，教师不做判断。而是引导学生进一步观察.研探.

预习课本，引入新课

探究点1：平方关系的发现

阅读课本182-183页，思考并完成以下问题

1．同角三角函数的基本关系式有哪两种？

2．同角三角函数的基本关系式适合任意角吗？

要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。

因为三个三角函数值都是由角的终边与单位圆交点所唯一确定的，所以终边相同的角的三个三角函数值一定有内在联系．由公式一可知，我们不妨讨论同一个角的三个三角函数值之间的关系．

如图5.2-7，设点是角的终边与单位圆的交点．过作轴的垂线，交轴于，则为直角三角形，而且．由勾股定理有

．

因此，，即

显然，当的终边与坐标轴重合时，这个公式也成立．

探究点2：商数关系的发现

根据三角函数的定义，当时，有

这就是说，同一个角的正弦、余弦的平方和等于1，商等于角的正切．

探究点3：变形宝库

问题3你能发现同角三角函数的基本关系的哪些变形形式？

提示sin2α＋cos2α＝1?

eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(sin2α＝1－cos2α，,cos2α＝1－sin2α，,sinα＝±\r(1－cos2α)，,cosα＝±\r(1－sin2α)，,?sinα±cosα?2＝1±2sinαcosα.))

tanα＝eq\f(sinα,cosα)?eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(sinα＝tanαcosα，,cosα＝\f(sinα,tanα).))

利用上述变换我们可以对三角函数式进行化简，也就是代数式的恒等变换，要使结果尽可能的简单，也就是项数尽可能的少，次数尽可能的低，函数种类尽可能的少，式子中尽量不含根号，能求值的尽量求值．

应用同角三角函数关系求值

例6已知，求，的值．

【变式】已知，则的值为（????）

A． B． C． D．

例7求证：．

【变式】求证：eq\f(1＋2sinαcosα,sin2α－cos2α)＝eq\f(tanα＋1,tanα－1).

解题技巧：(化简三角函数式的常用方法)

1、切化弦，即把非正弦、余弦函数都化成正弦、余弦函数，从而减少函数种类以便化简.

2、对含有根号的，常把根号下式子化成完全平方式，然后去根号达到化简的目的

3、对于化简高次的三角函数式，往往借助于因式分解，或用“1”的代换，以降低函数次数，达到化简目的.

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