1.2空间向量基本定理+课件-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册.pptxVIP

§1.2空间向量基本定理

我们学过的平面向量基本定理可以概括为给出一个二维的基底可以表示平面中所有的向量；上面的结论能否推广到三维空间，即如果给出一个三维的基底，能否表示空间中所有的向量呢？今天我们就来研究这个问题.导语

阅读教材P11—14，回答下面问题：问1、什么是空间向量基本定理？问2、什么是基底、基向量、单位正交基、正交分解？问3、你能利用空间向量基本定理解决立几问题吗？

空间向量基本定理一

?问题1

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请证明x，y，z的唯一性.问题2?

1.空间向量基本定理：如果三个向量a，b，c，那么对任意一个空间向量p，存在的有序实数组(x，y，z)，使得.2.基底：我们把{a，b，c}叫做空间的一个，a，b，c都叫做基向量.3.单位正交基底：如果空间的一个基底中的三个基向量，且长度都为，那么这个基底叫做单位正交基底，常用{i，j，k}表示.4.正交分解：由空间向量基本定理可知，对空间中的任意向量a，均可以分解为三个向量xi，yj，zk，使.像这样，把一个空间向量分解为三个的向量，叫做把空间向量进行正交分解.不共面唯一p=xa+yb+zc基底两两垂直1a=xi+yj+zk两两垂直

(1)空间任意三个不共面的向量都可构成空间的一个基底.基底选定后，空间的所有向量均可由基底唯一表示.(2)一个基底是一个向量组，一个基向量是指基底中的某一个向量.(3)若三个向量不共面，就说明它们都不是零向量.注意点

?例1

?解

基底的判断思路(1)判断空间三个向量能否作为一个基底，实质是判断这三个向量是否共面，若不共面，就可以作为一个基底.(2)在正方体、长方体、平行六面体、四面体等几何体中，我们通常选用它们从同一顶点出发的三条棱对应的方向向量为基底，有时，也在此基础上构造其他向量作基底.反思感悟

(1)(多选)已知{e1，e2，e3}是空间的一个基底，则可以与向量p=e1+e2，q=e1-e2构成基底的向量是A.e1 B.e3C.e1+2e2 D.e1+2e3跟踪训练1√√

?解析

?√

?解析

二用基底表示空间向量

?例2

?解

?例2

?解

用基底表示向量(1)若基底已经明确，要充分利用向量加法的三角形法则和平行四边形法则、向量减法的几何意义，以及向量数乘运算的运算律.(2)若基底不明确，首先选择基底，选择时，要尽量使所选的基向量能方便地表示其他向量，再就是看基向量的模及其夹角是否已知或易求.反思感悟

?跟踪训练2?解

??解

空间向量基本定理的应用三

(课本例2)如图，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，AB=4，AD=4，AA1=5，∠DAB=60°，∠BAA1=60°，∠DAA1=60°，M，N分别为D1C1，C1B1的中点.求证MN⊥AC1.例3

?证明

(课本例3)如图，正方体ABCD-ABCD的棱长为1，E，F，G分别为CD，AD，DD的中点.(1)求证：EF∥AC；例3

?证明

(2)求CE与AG所成角的余弦值.?解

?例3

?证明

(2)求EF与C1G所成角的余弦值.

?解

若本例条件不变，M为A1B的中点，证明：MF∥B1C.延伸探究?证明

?反思感悟

已知在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ABC=120°，AB=2，BC=CC1=1，则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为.?跟踪训练3?

?解析

1.知识清单：(1)空间向量基本定理.(2)空间向量基本定理的应用.2.方法归纳：转化化归.3.常见误区：(1)基向量理解错误，忽视基向量的条件.(2)利用基向量表示向量时，没有目标意识，缺少向量表示的方向性.

课堂练习：141—3题

作业：1、阅读教材2、《步步高》作业43、预习下节内容