4.2.2指数函数的图象与性质（课件）-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册.pptxVIP

第四章指数函数与对数函数

4.2.2指数函数的图象和性质

01熟练掌握指数函数的图象和性质；

02能利用指数函数的图象和性质比大小.

Imae学习目标

N

g

o

新课引入

下面我们类比研究幂函数性质的过程和方法，进一步研究指数函数

首先画出指数函数的图象，然后借助图象研究指数函数的性质.

先从简单的函数y=2*开始.

X

y

-2

-1.5

0.35

-1

-0.5

0.71

0

0.5

1.41

1

1.5

2.83

2

请完成x,y的对应值表，并用描点法画出函数y=2*的图象(如图)

探索新知

123x

y=2*

探索新知

因为,点(x,y)与点(-x,y)关于y轴对称，所以函数y=2*图

象上任意一点P(x,y)关于y轴的对称点P(-x,y)都在函数的图象上，

反之亦然.由此可知，底数互为倒数的两个指数函数的图象关于y轴对称.

探索新知

根据这种对称性，就可以利用一个函数的图象，画出另一个函数的图象，比

如利用函数y=2的图象，画出的图象(如图).

探索新知

思考：选取底数a(a0,且a≠1)的若干个不同的值，在同一直角坐标系内画出相应的指数函数的图象.观察这些图象的位置、公共点和变化趋势，它们有哪些共性?由此你能概括出指数函数y=a*(a0,且a≠1)的值域和性质吗?

探索新知

如图，选取底数a的若干值，用信息技术画图，

发现指数函数y=a的图象按底数a的取值，可分为0a1和a1两种类型.因此，指数函数的性质也可以分0a1和a1两种情况进行研究.

4

y=4

=()

4

3

2

-2-1012x

探索新知

y=2*

y=3×

5

项目

0a1

a1

图象

定义域

R

值域

(0,+∞)

性质

(1)过定点(0,1),即x=0时，y=1

(2)减函数

(2)增函数

指数函数的图象和性质

性质

单调性

增函数

减函数

函数值的

变化情况

当x0时，aˣ1,

当x=0时，aˣ=1,

当x0时，0ax

1

当x0时，0aˣ1,

当x=0时，aˣ=1,

当x0时，aˣ1

对称性

函数y=a²与

的图象关于y轴对称

指数函数的图象和性质

例3比较下列各题中两个值的大小：

(1)1.72.5,1.7³;(2)0.8-√2,0.8-√3;

(3)1.7.3,0.93.1.

例题

分析：对于(1)(2),要比较的两个值可以看作一个指数函数的两个函数

值，因此可以直接利用指数函数的单调性进行比较；对于(3),1.70.3和0.93.1不能看作某一个指数函数的两个函数值.可以利用函数y=1.7*和y=0.9的单调性，以及“x=0时，y=1”这条性质把它们联系起来.

例题

解：(1)1.725和1.7³可看作函数y=1.7*当x分别取2.5和3时

所对应的两个函数值.

因为底数1.71,所以指数函数y=1.7*是增函数.

因为2.53,所以1.72.⁵1.7³.

例题

(2)同(1)理，因为00.81,所以指数函数y=0.8*是减函数

因为-√2-√3,所以0.8-√²0.8-√3.

(3)由指数函数的性质知1.7⁰.³1.7⁰=1,0.93¹0.9⁰=1,

所以1.7.³0.93.1.

利用指数函数的单调性，通过自变量的大小关系可以判断相应

函数值的大小关系.

例题

例题

例4如图，某城市人口呈指数增长.

(1)根据图象，估计该城市人口每翻一番所需的时间(倍增期);

(2)该城市人口从80万人开始，经过20年会增长到多少万人?

分析：(1)因为该城市人口呈指数增长，而同一指数函数的倍增期是相同

的，所以可以从图象中选取适当的点计算倍增期.

(2)要计算20年后的人口数，关键是要找到20年与倍增期的数量关系.

例题

解：(1)观察图象，发现该城市人口经过20年约为10万人，经过40年约为20万人，即由10万人口增加到20万人口所用的时间约为20年，所以该城市人口每翻一番所需的时间约为20年.

(2)因为倍增期为20年，所以每经过20年，人口将翻一番.因此，从80万人开始，经过20年，该城市人口大约会增长到160万人.

例题

(1)当a1时，指数函数图象是“上升”的，且当x

0时，底数a的值越大，函数图象越“陡”;

(2)当0a1时，指数