1.3.1不等式的性质 课件-2025-2026学年高一上学期数学北师大版必修第一册.pptxVIP

第一章预备知识

1.3.1不等式的性质

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北师大版

必修第一册

学习目标

1.理解不等关系与不等式的概念.

2.掌握两个实数大小比较的基本事实.

3.掌握不等式的性质.

(1)在客观世界中，量与量之间的不等关系是普遍存在的，用数学符号“≠“、““、

“≥“、““、“≤“连接两个数或代数式，以表示它们之间的不等式关系.含有这些不等号的式子叫做不等式.

(2)用““或““连接的不等式叫严格不等式；用“≤“或“≥“连接的不等式叫非严格不等式.

常见的文字语言与数学符号之间的对应关系如下：

文字语言

数学符号

文字语言

数学符号

文字语言

数学符号

文字语言

数学符号

大于

大于或等于

≥

至多

≤

不小于

≥

小于

小于或等于

≤

至少

≥

不大于

≤

1.不等式

在初中数学中，可以利用数轴比较任意两个实数a,b的大小.

关于实数a,b大小的比较，有以下基本事实：

如果a-b是正数，那么ab;

如果a-b等于0,那么a=b;

如果a-b是负数，那么ab.反过来也成立.

要比较两个实数的大小可以转化为比较它们的差与0的大小(作差法),作差时应对差式

进行恒等变形(常采用配方法，因式分解，有理化，通分等方法),直到能判断正负为止.

解因为(x+1)(x+5)-(x+3)²=(x²+6x+5)-(x²+6x+9)=-40

所以(x+1)(x+5)(x+3)².

例1试比较(x+1)(x+5)与(x+3)²的大小.

因为不等式和等式一样，都是大小关系的刻画，所以我们可以从等式性质及其研究方法出

发，通过类比研究不等式性质.首先梳理一下，等式都有哪些性质?

性质1:如果a=b,那么b=a;(对称性)

性质2:如果a=b,b=c那么a=c;(传递性)

性质3:如果a=b,那么a±c=b±c;(同加减性)

性质4:如果a=b,那么ac=bc;(同乘性)

性质5:如果a=b,c≠0那么;(同除性)

2.不等式的性质

性质1如果ab,且bc,那么ac.

分析要证ac,只需证a-c0.

证明因为ab,且bc,所以a-b0,b-c0,

从而a-c=(a-b)+(b-c)0,即ac.

性质2如果ab,那么a+cb+c.

分析要证a+cb+c,只需证(a+c)-(b+c)0.

证明因为ab,所以a-b0,所以,

即a+cb+c.

2.不等式的性质

性质3(1)如果ab,c0,那么acbc.

(2)如果ab,c0,那么acbc.

分析(1)要证acbc,只需证ac-bc0.

证明(1)因为ab,所以a-b0.

又因为c0,所以(a-b)c0,ac-bc0,即acbc.

你能否用(1)的方法完成(2)的证明?

分析(2)要证acbc,只需证ac-bc0.

证明(2)因为ab,所以a-b0.

又因为c0,所以(a-b)c0,ac-bc0,即acbc.

因为ab,所以b-a0.又b0,m0,故.因此

例2试证明：若0ab,m0

例题巩固

证明

,则

2.不等式的性质

性质4如果ab,cd,那么a+cb+d.

证明因为ab,所以a+cb+c.

又因为cd,所以b+cb+d.

由不等式的性质1,得a+cb+d.

证明(1)因为ab,c0,所以acbc.又因为cd,b0,所以bcbd.由

不等式的性质1,得acbd.

你能否用(1)的方法完成(2)的证明?

证明(2)因为ab,c0,所以acbc.又因为cd,b0,所以bcbd.由

不等式的性质1,得acbd.

性质5

(1)如果ab0,cd0,

那么acbd

;

(2)如果ab0,cd0,

那么acbd.

2.不等式的性质

证明

假设”a≤b.

当a√b

时，可得(@n(√b)n,即

ab

.与已知条件ab0

矛盾

当√a=Vb

时，可得(√an=(