4.4 探索三角形相似的条件 课件 2025--2026学年北师大版九年级数学上册.pptxVIP

4.4探索三角形相似的条件

学习目标

掌握相似三角形的定义

经历两三角形相似条件的探索过程，掌握两三角形

相似的判定条件：两角分别相等的两个三角形相似

你能根据相似多边形的定义说出相似三角形的定义吗?

三角分别相等、三边成比例的两个三角形叫做相似三角形.

记作△ABC∽△DEF.

注意：对应顶点写在对应位置

一、知识回顾

相似多边形

定义：各角分别相等、各边成比例的两个多边形叫做

六边形ABCDEF∽六边形A₁B₁C₁D₁E₁F₁

思考：什么叫相似三角形呢?

相似多边形.

对应角一相等对应边一成比例

全等是一种特殊的相似

一、知识回顾

二、探究新知

相似三角形

定义：三角分别相等、三边成比例的两个三角形叫做

三角形ABC∽三角形A₁B₁C₁

相似三角形.

B₁

设AB=1,AC=x,则BC=1-x.

∴x²=1×(1-x).

即x²+x-1=0.

解方程得：意舍

黄金比

做一做

1.计算黄金比.

解：由

,得AC²=AB·BC.

做一做

2.如图所示，已知线段AB按照如下方法作图：

1.经过点B作BD⊥AB,使

2.连接AD,在AD上截取DE=DB.

3.在AB上截取AC=AE.

思考：点C是线段AB的黄金分割点吗?

二、探究新知

思考：两个三角形至少满足什么条件就相似呢?类比

两个三角形全等的条件，寻找判定两个相似的条件?

判定方法

全等三角形

边边边

SSS

边角边

SAS

角边角

ASA

边角角

AAS

直角边、

斜边

HL

相似三角形

思考全等是一种特殊的相似，那你猜想一下，判定

两个三角形相似需要几个条件?

二、探究新知

三角形全等的性质和判定方法有哪些?

想一想

(2)两个条件?

①一个角相等十一个角相等二两角分别相等

②一个角相等十两边成比例二

两角相等

a.两边成比例且夹角相等

b.两边成比例且其中一边的对角相等

3两边成比例十两边成比例二三边成比例

∠A=∠A

∠B=∠B

∠C=∠C

角相等边成比例

两边成比例且

1.如图，在△ABC中，∠ACB=90°,CDLAB于点D,则图中

相似三角形共有(C)

A.1对B.2对C.3对D.4对

B.△ABC中，AB=8,AC=4,∠A=105°,△ABC′

中，AB′=16,B

C′=8,∠A`=100°

C.△ABC中，AB=18,BC=20,CA=35,△ABC′

中，AB′=36,

2.下列各组三角形中，两个三角形能够相似的是(C)

A.△ABC中，∠A=42°,∠B=118°,△ABC′中，∠A=1180,∠B′=150

BC′=40,CA=70

D.△ABC和△ABC′中，有，∠C=∠C′。

证明：∵∠BAC=∠1+∠DAC,∠DAE=∠3+∠DAC,

∵∠1=∠3,∴∠BAC=∠DAE

∵∠C=180°-∠2-∠DOC,∠E=180°-∠3-∠AOE.

又∵∠DOC=∠AOE(对顶角相等),

∴ZC=∠E.

在△ABC和△ADE中∠BAC=∠DAE,∠C=∠E

∴△ABC∽△ADE.

例3:已知：如图，∠1=∠2=∠3,

求证：△ABC∽△ADE.

类型

所需条件

基本图形

两角分别相等的两个三角形相似.此方法是判定两三角形相似最常用的方法.以下为通过两角相等判定两三角形相似的基本模型：

》随堂演练

如图，在△ABC中，∠BAC=90°,AD⊥BC,垂足为

D.

(1)请指出AD²=BD·DC.似三角形；

(2)证明：

思维拓展

如图，为了测量一个大峡谷的宽度，地质勘探人员在对面的岩

石上观察到一个明显的标志点O,再在他们所在的这一侧选点A,B,D,使得AB⊥AO,DB⊥AB,然后确定DO和AB的交点C.测得AC=120m,CB=60m,BD=50m,你能帮助他们算出峡谷的宽AO吗?

B

D

(1)求证：△ABD∽△DCE.

解：∵△ABC为等边三角形，

∴∠B=∠C=60°,∴∠ADB+∠BAD=120°,

又∠ADE=60°,∴∠ADB+∠CDE=120°,

∴∠BAD=∠CDE,∴△ABD∽△DCE.

3.如图，在等边三角形ABC中，边长为10,点D在BC上，

BD=6,∠ADE=60°,DE交AC于E.

(2)求CE的长.

解：∵AB