1.2.1 圆的标准方程课件-2025-2026学年高二上学期数学北师大版选择性必修第一册.pptxVIP

1.2.1圆的标准方程

北师大版(2019)

选择必修第一册

1.理解圆的定义并掌握圆的标准方程.

2.能准确判断点与圆的位置关系.

3.会求解简单的圆的标准方程的问题.

学习目标

在平面几何的学习中，我们已经认识到圆是平面内到定点的距

离等于定长的所有点的集合(或轨迹),其中定点是圆心，定长就是半径.

在平面直角坐标系中，如何把圆的问题转化为数和方程的问题，

用代数运算来求解呢?

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在几何学中，通常我们将满足某条件的点的集合也叫作满足某条件的点的轨迹.

新课导入

设P(x,y)为平面直角坐标系中的任意一点，根据圆的定义，点

P在圆C上的充要条件是

|PC|=r.

也就是说，若点P在圆C上，则|PC|=r;反之，若点P满足

新知探索

设圆C的圆心为C(a,b),半径为r,如图.下面来求圆上任意一点的横、纵坐

标所满足的关系式.

|PC|=r,则点P在圆C上.

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1.圆的标准方程

根据两点间的距离公式，将|PC|=r化为√(x-a)²+(y-b)²=r,将上式两边平方，得方程

(x-a)²+(y-b)²=r².①

平面内圆C上的点P的坐标(x,y)满足方程①;反之，以满足方程①的(x,y)为坐标的点P一定在圆C上.因此，方程①就是以点C(a,b)为圆心，r为半径的圆的方程，称此方程为圆的

标准方程.

新知探索

注意：方程(x-a)²+(y-b)²=m²

(1)当圆心在原点即A(0,0),半径长m=1时，方程为x²+y²=1,称为单位圆.

(2)当m=0,方程不表示圆，而表示一个点(a,b).

(3)相同的圆，建立坐标系不同时，圆心坐标不同，导致圆的方程不同，但是半径是不变的.

(4)m≠0时，圆上的点都满足方程，满足方程的点都在圆上.

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对于点P(xo,yo)和圆C:(x-a)²+(y-b)²=r²,由圆的标准方程的概

念，可知点P在圆C上的充要条件是(x₀-a)²+(yo-b)²=r².

(1)当点P不在圆C上时，能否利用几何直观解释|(x₀-a)一

b)²-r²|的意义?

点在圆外(dr)

(x₀-a)²+(y₀-b)²-r²表示点P到圆C的切线段长度的平方.

点在圆内(dr)

r²-(x₀-a)²+(y₀-b)²表示过P且垂直于OP的弦长度的一半的平方

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(2)当(xo-a)²+(yo-b)²≠r²时，存在以下两种情况：

(x₀-a)²+(yo-b)²r²或(x₀-a)²+(yo-b)²r².

而点P不在圆C上时，也恰好有两种情况：点P在圆C内或点P在圆C外.那

么,两个不等关系和”点与圆的两种位置关系之间存在怎样的联系呢?

当(x₀-a)²+(y%-b)²r²时，点P在圆C外；

当(x₀-a)²+(y₀-b)²r²时，点P在圆C内.

例题练习

例1根据下列圆的方程，写出各圆的圆心坐标和半径：

(1)x²+(y-1)²=4;(2)(x-1)²+(y+1)²=2.

解(1)根据圆的标准方程，可得该圆的圆心坐标为(0,1),半径为2.

(2)将方程(x-1)²+(y+1)²=2化为(x-1)²+[y-(-1)]²=(√2)²,根据圆的标准方程，可得该圆的圆心坐标为(1,-1),半径为√2.

例题练习

例2已知两点A(1,2)和B(3,-2).

(1)求以点A为圆心，且经过点B的圆的方程；

(2)求以AB为直径的圆的方程.

解(1)根据已知条件，设圆A的方程为(x-1)²+(y-2)²=r².

由圆A经过点B(3,-2),得(3-1)²+(-2-2)²=r².解得r²=20.

所以圆A的方程为(x-1)²+(y-2)²=20(如图).

例题练习

(2)设圆的方程为(x-a)²+(y-b)²=r²,则(a,b)是圆心的坐标.根据已知条件，得

r²=(3-2)²+(-2)²=5.

所以所求圆的方程为(x-2)²+y²=5.

将点B(3,-2)代入圆的方程(x-2)²+y²=r²,解得

例题练习

例3求经