4.5.1 函数的零点与方程的解课件-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册.pptxVIP

4.5函数的应用(二)

4.5.1函数的零点与方程的解

数学

学习目标

①理解函数的零点、方程的解与图象交点三者之间的联系.

②会借助函数零点存在定理判断函数的零点所在的大致区间.

③能借助函数单调性及图象判断零点个数，提高数学抽象等学科

核心素养.

学习重难点

·重点：

1.方程的根与函数零点的关系的理解.

2.函数零点存在定理的探究、构建与应用.

·难点：

1.创设自然情境、提出恰当问题，引导学生自主探究函数零点存在定理.

2.数形结合思想方法的渗透.

韦达是法国十六世纪最有影响的数学家之一.他第一个有意识地和系统地使用字母来表示已知数、未知数及其乘幂，带来了代数学理论研究的重大进步.

他的《解析方法入门》一书集中了他以前在代数方面的大成，使代数学真正成为数学中的一个优秀分支.他对方程论的贡献是在《论方程的整理和订正》一书中提出了二次、三次和四次方程的解法.

韦达讨论了方程根的各种有理变换，发现了方程的根与系数之间的关系，所以人们把叙述一元二次方程根与系数关系的结论称为韦达定理.

课堂导入

课堂导入

思考1:(1)一元二次方程是否有实数根的判定方法是什么?

(2)二次函数y=ax²+bx+c(a≠0)的顶点坐标、对称轴方程分别是什么?

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【设置悬念】

某路边有一条河，小明从A点走到了B点.观察下列两组幅图，并推断哪一幅能说明小明一定曾渡过河?

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思考2:将这个实际问题抽象成如下数学模型：

如图，若将河看成x轴，建立平面直角坐标系，A,B分别是小明的起点和终点，则点A,B应该满足什么条件就能说明小明的行程一定曾渡过河?

提示：只要满足点A与点B分布在x轴的两侧即可，即图中A处的函数值与B处

的函数值符号相反，这也是我们将要学习的零点的相关知识.

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【情境问题】

思考3:二次函数的零点是什么?函数y=x²-2x-3与方程x²-2x-3=0的解有什么关系?

提示：一般地，对于二次函数y=ax²+bx+c(a≠0),我们把使ax²+bx+c=0

(a≠0)的实数x叫做二次函数y=ax²+bx+c(a≠0)的零点.函数y=x²-

2x-3的零点就是方程x²-2x-3=0解.

思考4:方程lnx+2x-6=0的解能用公式求吗?如果不能，如何研究它的解?

提示：不能，可以利用相应的函数来研究Inx+2x-6=0的解.

思考5:你能类比二次函数零点的定义，给出一次函数y=ax+b(a≠0)零点的定义吗?

提示：一次函数零点的定义为：对于一次函数y=ax+b(a≠0),我们把

使ax+b=0(a≠0)的实数x叫做一次函数y=ax+b(a≠0)的零点.

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【讲授新课】

一、函数的零点

1.对于一般函数y=f(x),我们把f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)的零点.

2.方程、函数、图象之间的关系：

方程f(x)=0有实数解⇔函数y=f(x)有零点→函数y=f(x)的图象与x轴有公共点.

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思考1:(1)函数的“零点”是一个点吗?

提示：不是，是个实数.

(2)函数y=x²有零点吗?

提示：有，是x=0.

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【小试牛刀】

【例1】如图是函数f(x)=x²-2x-3的图象，根据零点的定义判断对错与填空.

解析：(1)错，图象与x轴无交点的函数没有零点，如

(2)错，零点是函数图象与x轴交点的横坐标，而不是交点的坐标；

(3)函数图象与分别轴的交点横坐标是-1,3,所以零点即为-1,3.

(1)任何函数都有零点.()

(2)函数y=x-2的零点是(2,0).()

(3)如图所示，函数f(x)的零点是.

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跟踪训练1求下列函数的零点：

(1)f(x)=2x+3(2)f(x)=2x—4

解(方法1)(1)由2x+3=0,得5所以函数f(x)=2x+3的零点就

(2)由2x—4=0,得x=2,所以f(x)=2x—4的零点就是x=2.

(方法2)(1)画出函数的图象如图，函数的图象与x轴交点的横坐

标为则函数f(x)=2x+3的零点为

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(2)画出函数的图象如图，函数的图象与x轴公共点的横坐标为2,则函数f(x)=

2×-4的零点为2.

(1)f(x)在区间[-2,0]上有零点;f(-2)=