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初中数学竞赛

二次根式（二）

【知识概述】

本讲主要研究二次根式的运算，模块一重点介绍二次根式的加减乘除及混合运算：模块

二着重介绍了二次根式化简的一些方法技巧，主要包括分母有理化这一重要工具以及复合二

次根式的化简方法，模块三介绍了二次根式比大小问题．

【知识结构】

模块一二次根式的运算

【知识精要】

1、二次根式的加法与减法

整式的加减归结为合并同类项．二次根式的加减同整式的加减类似，归结为合并同类二

次根式．

二次根式加减法的一般过程是：先把各个二次根式化成最简二次根式，再把同类二次根

式进行合并

例如：．

2、二次根式的乘法与除法

二次根式性质3：，即,也就是二次根式的乘法

法则：两个二次根式相乘，被开方数相乘，根指数不变．

同样的，二次根式的性质4：就是二次根式相除的法则，即两个二

次根式相除，被开方数相除，根指数不变．

需要注意的是二次根式相乘和相除的结果必须化成最简二次根式．

两个根式相乘，如（其中是由根号

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有意义条件得到的）；两个根式相除，如．

3、混合运算

实数的运算律、运算性质以及运算顺序的规定，在二次根式运算中都适用．

【典型例题】

1.（1）；（2）．

2.（1）；（2）．

3.计算（1）；

（2）．

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模块二二次根式的化简与求值

【知识精要】

1、分母有理化

把分母中的根号化去，叫做分母有理化．分母有理化的方法，一般是把分子和

分母都乘以一个适当的代数式，使分母不含根号．

例如：．

两个含有二次根式的非零代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，则称这

两个含有二次根式的非零代数式互为有理化因式．如：与互为有

理化因式，与也互为有理化因式．

2、复合二次根式

复合二次根式：如果二次根式的被开方数（式）中含有二次根式，这样的式子

叫做复合二次根式，也叫重二次根式．如，等．

复合二次根式的化简：对于复合二次根式，设法找到两个正数x、y

（）使，，则．

例如．

3、降次法

把某个高次幂整式用一个低次幂整式去代替它，从而使整式的次数降低，达到

简化问题的目的，叫做降次法．

降次法是根据给出的条件或题目的结构，利用代入、变形等手段，将一个多项

式的次数降低，以使问题获得较简捷地求解.简单地说，就是将“高次”问题化为

“低次”问题的方法，它在解题中有化繁为简的功能，同时能使思路更加明快、简

捷．