分式解析版 初中数学竞赛讲义.pdfVIP

初中数学竞赛

分式

【知识概述】

分式是初中代数的重要内容之一，它以分式的定义和性质作为主要的依据，配合整式的

运算、因式分解等知识，题型较为综合、灵活，对计算能力和技巧要求比较高，是考查代数

能力的好素材，在自招与竞赛中常以填空、选择的形式出现．

本讲分为三个模块，分别是分式的恒等变形、分式的计算和简单的分式方程（组）．分

式的恒等变形是分式中最重要的内容，它是计算分式与分式方程的基础，大部分的技巧和难

点都存在在恒等变形之中，因此掌握好各项分式变形的技巧是重中之重．

【知识结构】

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模块一：分式的恒等变形

【知识精要】

分式的恒等变形：

分式的恒等变形是代数式恒等变形的一种，以整式恒等变形为基础，并结合自身的特点，

因此更具有独特的复杂性和技巧性，在自招考试、数学竞赛中常常出现此类命题．

分式的恒等变形涉及到的主要内容包括分式的基本性质，分式的各种通分、约分、化简、

求值及恒等证明．将复杂分式通过恒等变形转化为整式进行运算是常用技巧，因此化简

求值的技巧方法上往往与整式有异曲同工之妙，包括设参法、换元法、降次法、裂项相

消法等．

分式的基本性质如下：

（1）（）；

（2）若，，则（传递性）；

（3）（合比性）；

（4）（合比性）；

（5）若，那么（等比性）．

【典型例题】

1.若实数满足，则的值_________．

【名师点拨】本题若解出的值再计算代数式比较繁琐，可以考虑将已知条件中的

分式转换为整式，再整体代入所求代数式进行逐级降次，从而化简运算．

【答案】1．

【解析】，，

代入到中得：

原式=

==1．

故答案1．

2.若，求的值．

【名师点拨】本题可将分式通分后，再进行化简求值，但此法较繁琐．巧妙地利用

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已知条件替换1，可以使得代数式的化简更加简洁．

同时，对于这种已知条件的轮换对称式，可利用换元法设

代入使得运算更为简便．

【答案】1．

【解析】

解法一：，，

原式=

=

==1．

解法二：设，则

原式=

=

=

==1．

故答案1，以上两种解法均可．

3.（1）已知，则_____________；

（2）已知，则_____________．

【名师点拨】有关分式的题目中最常考查的一类题型，已知的值，可以利用

乘法公式求出（）的值，有时的值并非直接给出，需要结合题

设条件先求出它的值再得到