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2025年下学期初中数学与拓扑学初步试卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
在平面直角坐标系中，点A（-3，4）关于原点对称的点的坐标是（）
A.（3，4）B.（-3，-4）C.（3，-4）D.（4，-3）
下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）
A.等边三角形B.平行四边形C.正五边形D.圆
已知一个多边形的内角和是外角和的3倍，则这个多边形是（）
A.五边形B.六边形C.七边形D.八边形
在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，则sinA的值是（）
A.3/5B.4/5C.3/4D.4/3
下列关于拓扑学的说法中，正确的是（）
A.拓扑学主要研究图形的大小和形状
B.在拓扑变换中，图形的形状可以改变，但不能撕裂或粘合
C.拓扑学只研究平面图形
D.拓扑学是几何学的一个分支，主要研究图形的位置关系
下列图形中，与球面拓扑等价的是（）
A.圆环面B.正方体表面C.克莱因瓶D.莫比乌斯带
已知函数f(x)=2x+1，则f(3)的值是（）
A.5B.6C.7D.8
下列关于圆的说法中，错误的是（）
A.圆是平面上到定点距离等于定长的点的集合
B.圆的直径是圆中最长的弦
C.圆的周长公式是C=πd
D.圆的面积公式是S=πr2
在拓扑学中，下列哪两个图形是同胚的（）
A.三角形和正方形B.圆和正方形C.圆和线段D.三角形和线段
下列关于莫比乌斯带的说法中，正确的是（）
A.莫比乌斯带是一个二维图形
B.莫比乌斯带只有一个面和一条边
C.莫比乌斯带可以通过将长方形纸条的两端直接粘合而成
D.莫比乌斯带是一个可定向曲面
二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）
在平面直角坐标系中，点P（2，-5）到x轴的距离是______。
已知一个三角形的三边长分别为3、4、5，则这个三角形的面积是______。
若一个多边形的每个外角都等于30°，则这个多边形的边数是______。
在拓扑学中，橡皮几何学指的是______。
函数y=2x-3的图像与x轴的交点坐标是______。
已知圆的半径为5cm，则这个圆的周长是______cm（结果保留π）。
三、解答题（本大题共4小题，共46分）
17.（10分）如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=6cm，BC=8cm，求AB的长度和∠A的正弦值。
18.（12分）已知函数f(x)=x2-2x+3，求：
（1）f(2)的值；
（2）f(x)的最小值；
（3）f(x)的图像与x轴的交点坐标。
19.（12分）在拓扑学中，什么是同胚变换？请举例说明哪些图形是同胚的，并解释为什么球面和环面不是同胚的。
20.（12分）（1）什么是莫比乌斯带？请简述其构造方法。
（2）莫比乌斯带有哪些独特的性质？
（3）请举例说明莫比乌斯带在实际生活中的应用。
四、拓广探索题（本大题共2小题，共20分）
21.（10分）在拓扑学中，什么是欧拉示性数？请计算正方体表面的欧拉示性数，并说明其意义。
22.（10分）什么是克莱因瓶？它有哪些拓扑性质？为什么克莱因瓶在三维空间中无法实现？
五、证明题（本大题共1小题，共10分）
证明：在拓扑变换下，图形的连通性保持不变。
参考答案及评分标准
一、选择题（每小题3分，共30分）
1.C2.D3.D4.B5.B6.B7.C8.C9.B10.B
二、填空题（每小题4分，共24分）
11.512.613.1214.拓扑学15.（3/2，0）16.10π
三、解答题（共46分）
17.（10分）
解：在Rt△ABC中，根据勾股定理得：
AB2=AC2+BC2=62+82=36+64=100
∴AB=10cm（5分）
sinA=BC/AB=8/10=4/5（5分）
18.（12分）
解：（1）f(2)=22-2×2+3=4-4+3=3（4分）
（2）f(x)=x2-2x+3=(x-1)2+2
∴当x=1时，f(x)取得最小值2（4分）
（3）令f(x)=0，即x2-2x+3=0
Δ=(-2)2-4×1×3=4-12=-80
∴方程无实数根，即f(x)的图像与x轴无交点（4分）
19.（12分）
解：同胚变换是指在拓扑学中，两个图形之间存在双向连续的一一对应关系，即存在连续映射f和g，使得f°g和g°f都是恒等映射。（3分）
例如：圆和正方形是同胚的，因为可以通过连续变形将圆变成正方形，反之亦然。（3分）
球面和环面不是同胚的，原因如下：（6分）
（1）球面是单连通的，而环面是多连通的；
（2）在球面上，任何一条简单闭曲线都可以连续收缩到一个点，而在环面上，围绕环面洞的闭曲线不能收缩到一个点；
（3）球面的欧拉示性数是2，而环面的欧拉示性数是0，欧拉示性数
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