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2025年下学期初中数学与批判性思维试卷

考试时间：120分钟满分：150分

一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

逻辑推理：已知命题“若a是偶数，则a+1是奇数”，下列说法正确的是（）

A.该命题的逆命题为真命题

B.该命题的否命题为“若a是偶数，则a+1不是奇数”

C.该命题的逆否命题与原命题的真假性相反

D.若a=2k（k为整数），则可直接证明原命题为真

数据分析：某学校为了解学生作业时间分布，随机抽取50名学生进行调查，得到如下数据：

|作业时间（小时）|0.5|1|1.5|2|2.5|

|------------------|-----|---|-----|---|-----|

|人数|5|15|20|8|2|

下列说法中，不合理的是（）

A.样本中作业时间的中位数是1.5小时

B.用样本估计总体时，该校学生作业时间超过2小时的比例约为20%

C.若增加样本容量，数据的众数可能发生变化

D.由于样本仅来自一个年级，该调查结果不能推断全校学生情况

空间观念：将一个棱长为3的正方体表面涂色后，切成棱长为1的小正方体，若随机选取一个小正方体，则该正方体“恰有2个面涂色”的概率是（）

A.$\frac{1}{3}$B.$\frac{4}{9}$C.$\frac{5}{27}$D.$\frac{2}{9}$

问题辨析：小明在解分式方程$\frac{x}{x-2}-1=\frac{3}{(x-2)(x+3)}$时，步骤如下：

①方程两边同乘$(x-2)(x+3)$，得$x(x+3)-(x-2)(x+3)=3$；

②化简得$x^2+3x-x^2-x+6=3$，即$2x+6=3$；

③解得$x=-\frac{3}{2}$；

④经检验，$x=-\frac{3}{2}$是原方程的解。

上述过程中，错误的步骤是（）

A.①B.②C.③D.④

实际应用：某商店销售一种商品，成本为每件30元。经市场调查发现，当售价为每件40元时，每天可售出50件；售价每上涨1元，销量减少2件。若设售价为x元（x40），每天利润为y元，则y与x的函数关系为（）

A.$y=(x-30)(50-2x)$B.$y=(x-30)(50-2(x-40))$

C.$y=(x-40)(50-2(x-30))$D.$y=2(x-30)(50-x)$

批判性思维：关于“证明”的说法，正确的是（）

A.用“举反例”的方法可以证明一个命题为真

B.几何证明中，“已知”条件必须直接用于推导结论

C.归纳推理得到的结论，无需演绎推理即可确认为定理

D.证明过程中，“辅助线”的添加需基于图形性质的合理推断

函数分析：已知函数$y=ax^2+bx+c$（a≠0）的图象如图所示，则下列结论中一定正确的是（）

（注：图象开口向上，顶点在第四象限，与y轴交于负半轴）

A.$abc0$B.$b^2-4ac0$C.$a-b+c0$D.当$x-\frac{b}{2a}$时，y随x的增大而增大

模型应用：某快递公司规定：重量不超过1kg的包裹邮费为10元，超过1kg的部分每千克加收5元（不足1kg按1kg计算）。若包裹重量为xkg（x0），邮费为y元，则y与x的函数关系用图象表示正确的是（）

（选项略：需体现分段函数特征，x=1处为跳跃间断点，且x1时斜率为5）

统计推断：为比较A、B两种水稻品种的产量稳定性，分别在5块试验田种植，得到亩产量数据（单位：kg）：

A品种：520，530，540，540，560

B品种：510，530，540，550，560

下列说法中，正确的是（）

A.A品种的方差大于B品种，更适合推广

B.B品种的平均产量高于A品种，更适合推广

C.需结合当地气候、病虫害等因素综合判断推广品种

D.由于样本容量相同，可直接用方差比较稳定性

几何证明：如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，D为BC中点，DE⊥AB于E，若AB=4，则DE的长度为（）

（图形略：等腰三角形三线合一及含30°角的直角三角形性质应用）

A.$\sqrt{3}$B.2C.$2\sqrt{3}$D.1

二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）

开放探究：写出一个一元二次方程，使其“有两个不相等的实数根，且两根之和为负数”：________。

数据解释：某班学生数学成绩的方差为$s^2=16$，若将每位学生的成绩都加上5分，则新方差为________。

空间想象：如图，圆柱的底面半径为2，高为4，沿其侧面从点A到点B（A、B为上下底