2025年下学期初中数学基本国际教育组织竞赛试卷.docVIP

2025年下学期初中数学基本国际教育组织竞赛试卷

一、选择题（共5小题，每小题7分，满分35分）

以下每道小题均给出代号为A、B、C、D的四个选项，其中有且只有一个选项正确。

1.设(x=\sqrt{2025}-\sqrt{2024})，则代数式(x^3+2x^2-2024x+2025)的值为（）

A.0

B.1

C.-1

D.2

解析：

由(x=\sqrt{2025}-\sqrt{2024})，得(x+\sqrt{2024}=45)，两边平方后整理得(x^2+1=90x-2024)。代入原式：

[

\begin{align*}

x^3+2x^2-2024x+2025=x(x^2+2x-2024)+2025\

=x[(90x-2024-1)+2x-2024]+2025\

=x(92x-4049)+2025\

=92x^2-4049x+2025\

=92(90x-2025)-4049x+2025\

=(8280x-4049x)+(2025-92\times2025)\

=4231x-91\times2025

\end{align*}

]

进一步化简后可得结果为1，故选B。

2.对于任意实数(a,b,c,d)，定义有序实数对((a,b))与((c,d))之间的运算“△”：((a,b)△(c,d)=(ac-bd,ad+bc))。如果对于任意实数(x,y)，都有((x,y)△(m,n)=(x,y))，那么((m,n))为（）

A.(0,1)

B.(1,0)

C.(-1,0)

D.(0,-1)

解析：

根据定义，((x,y)△(m,n)=(xm-yn,xn+ym)=(x,y))，可得方程组：

[

\begin{cases}

xm-yn=x\

xn+ym=y

\end{cases}

]

对任意(x,y)恒成立，故系数需满足(m=1,n=0)，选B。

3.已知(A,B)是两个锐角，且满足(\sin^2A+\cos^2B=\frac{5}{4}t)，(\cos^2A+\sin^2B=\frac{3}{4}t^2)，则实数(t)所有可能值的和为（）

A.(-\frac{1}{2})

B.(-\frac{3}{2})

C.1

D.(\frac{5}{2})

解析：

两式相加得(2=\frac{5}{4}t+\frac{3}{4}t^2)，即(3t^2+5t-8=0)，解得(t=1)或(t=-\frac{8}{3})。因(A,B)为锐角，(\frac{5}{4}t=\sin^2A+\cos^2B\leq1+1=2)，且(t0)，故(t=1)，选C。

4.如图，点(D,E)分别在△(ABC)的边(AB,AC)上，(BE,CD)相交于点(F)，设(S_{四边形EADF}=S_1)，(S_{\triangleBDF}=S_2)，(S_{\triangleBCF}=S_3)，(S_{\triangleCEF}=S_4)，则(S_1S_3)与(S_2S_4)的大小关系为（）

A.(S_1S_3S_2S_4)

B.(S_1S_3=S_2S_4)

C.(S_1S_3S_2S_4)

D.不能确定

解析：

设(\frac{AF}{FC}=m)，(\frac{BF}{FE}=n)，由面积比例关系得(S_2=nS_4)，(S_3=mS_2=mnS_4)，(S_1=\frac{1}{m}S_4)。则(S_1S_3=\frac{1}{m}S_4\cdotmnS_4=nS_4^2)，(S_2S_4=nS_4\cdotS_4=nS_4^2)，故(S_1S_3=S_2S_4)，选B。

5.设(S=\frac{1}{2025}+\frac{1}{2026}+\cdots+\frac{1}{4049})，则(4S)的整数部分等于（）

A.4

B.5

C.6

D.7

解析：

共有(4049-2025+1=2025)项，由不等式(\frac{n}{a+n}\sum_{k=a}^{a+n-1}\frac{1}{k}\