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培优提升四自由落体和竖直上抛运动

学习目标1.进一步加深对自由落体运动性质的理解和运动规律的应用。2.知道什么是竖直上抛运动，理解竖直上抛运动是匀变速直线运动。3.会分析竖直上抛运动的运动规律，会利用分段法或全程法求解竖直上抛运动的有关问题。4.知道竖直上抛运动的对称性。

提升1自由落体运动规律的应用

多物体的自由落体运动

例1在离地面高7.2m处，手提2.2m长的绳子的上端，如图所示，在绳子的上下两端各拴一小球，放手后小球自由下落(绳子的质量不计，球的大小可忽略，g＝10m/s2)。求：

(1)两小球落地的时间差；

(2)B球落地时A球的速度大小。

答案(1)0.2s(2)10m/s

解析(1)设B球落地所需时间为t1，A球落地所需时间为t2

由h1＝eq\f(1,2)gteq\o\al(2,1)得B球落地时间为

t1＝eq\r(\f(2h1,g))＝eq\r(\f(2×（7.2－2.2）,10))s＝1s

由h2＝eq\f(1,2)gteq\o\al(2,2)得A球落地时间为

t2＝eq\r(\f(2h2,g))＝eq\r(\f(2×7.2,10))s＝1.2s

所以两小球落地的时间差为

Δt＝t2－t1＝0.2s。

(2)当B球落地时，A球的速度与B球的速度相等。

即vA＝vB＝gt1＝10×1m/s＝10m/s。

在研究自由落体运动的多物体问题时，首先利用自由落体运动规律，分别计算每个物体落地时间、速度等物理量，再对相关物理量进行分析、比较。

自由落体中的滴水问题

例2小敏在学过自由落体运动规律后，对自家屋檐上下落的雨滴产生了兴趣，她坐在窗前发现从屋檐每隔相等时间滴下一滴水，当第5滴正欲滴下时，第1滴刚好落到地面，而第3滴与第2滴分别位于高1m的窗子的上、下檐，小敏同学在自己的作业本上画出了如图所示的雨滴下落与自家房子的图示，其中第2滴和3第滴之间的小矩形表示小敏正对的窗子，不计空气阻力，g取10m/s2，请问：

(1)滴水的时间间隔是多少？

(2)此屋檐离地面多高？(尝试用多种方法求解)

答案(1)0.2s(2)3.2m

解析法一公式法

(1)设屋檐离地面高为h，滴水的时间间隔为T

由h＝eq\f(1,2)gt2得

第2滴水下落的位移h2＝eq\f(1,2)g(3T)2

第3滴水下落的位移h3＝eq\f(1,2)g(2T)2

且h2－h3＝1m

解得T＝0.2s。

(2)屋檐高h＝eq\f(1,2)g(4T)2＝3.2m。

法二比例法

由于初速度为零的匀加速直线运动，在连续相等的时间间隔内的位移之比为1∶3∶5∶…∶(2n－1)，所以相邻两水滴之间的间距从上到下依次是s、3s、5s、7s，由题意知，窗高为5s，则5s＝1m，s＝0.2m

屋檐高h＝s＋3s＋5s＋7s＝16s＝3.2m

设滴水的时间间隔为T，由s＝eq\f(1,2)gT2，得

T＝eq\r(\f(2s,g))＝0.2s。

法三平均速度法

设滴水的时间间隔为T，则雨滴经过窗户过程中的平均速度为eq\o(v,\s\up6(－))＝eq\f(L,T)，

其中L＝1m

雨滴在2.5T时的速度v2.5＝2.5gT

由于v2.5＝eq\o(v,\s\up6(－))，所以eq\f(L,T)＝2.5gT，解得T＝0.2s

屋檐高h＝eq\f(1,2)g(4T)2＝3.2m。

法四速度与位移关系式法

(1)设滴水的时间间隔为T，则第2滴水的速度

v2＝g·3T

第3滴v3＝g·2T，L＝1m

由v2－veq\o\al(2,0)＝2ax，得veq\o\al(2,2)－veq\o\al(2,3)＝2gL

解得T＝0.2s。

(2)屋檐高为h＝eq\f(1,2)g(4T)2＝3.2m。

“水滴下落”类问题

像水滴下落这样从同一位置开始、间隔相等时间、依次做自由落体运动的物体在空间形成不同间距的问题，可将若干个物体在某一时刻的排列情形等效成一个物体在不同时刻的位置，这就类似于研究匀变速直线运动时打点计时器打下的纸带上的点，由此可以用Δx＝aT2、初速度为零的匀变速直线运动的比例关系或者平均速度法进行求解。

非质点类物体的自由落体运动

例3如图所示，直杆长l1＝0.5m，圆筒高l2＝3.7m。直杆位于圆筒正上方h＝0.8m处。直杆从静止开始做自由落体运动，并能竖直穿过圆筒(g取10m/s2)，求：

(1)直杆下端刚到圆筒上端的时间；

(2)直杆穿越圆筒所用的时间。

答案(1)0.4s(2)0.6s

解析(1)设直杆下端到达圆筒上端的时间为t1，

根据自由落体运动规律有h＝eq\f(1,2)gteq\o\al(2,1