(人教B版)2025秋高中数学必修三同步讲义第06讲诱导公式(2个知识点+8类热点题型讲练+习题巩固)(学生版+解析).docxVIP

第06讲诱导公式

课程标准

学习目标

掌握诱导公式并运用其进行三角函数式的求值、化简以及简单三角恒等式的证明.

1.了解三角函数诱导公式的意义和作用；

2.理解诱导公式的推导过程；

3.能运用有关诱导公式解决一些三角函数的求值、化简和证明问题.

知识点01诱导公式

1.诱导公式

公式一：

sin(α＋2kπ)＝sinα，cos(α＋2kπ)＝cosα，tan(α＋2kπ)＝tanα，其中k∈Z，终边相同的角的同一三角函数的值相等．

【即学即练1】（23-24高一下·陕西渭南·期中）的值为（????）

A． B． C． D．

公式二：

（1）角π＋α与角α的终边关于原点对称．如图所示．

（2）公式：sin(π＋α)＝－sinα，cos(π＋α)＝－cosα，tan(π＋α)＝tanα.

公式三：

（1）角－α与角α的终边关于x轴对称．如图所示．

（2）公式：sin(－α)＝－sinα，cos(－α)＝cosα，tan(－α)＝－tanα.

公式四：

（1）角π－α与角α的终边关于y轴对称．如图所示．

（2）公式：sin(π－α)＝sinα，cos(π－α)＝－cosα，tan(π－α)＝－tanα.

【即学即练2】（24-25高一上·江苏扬州·期末）（????）

A． B． C． D．

公式五：

（1）角eq\f(π,2)－α与角α的终边关于直线y＝x对称，如图所示．

（2）公式：sin＝cosα，cos＝sinα.

公式六：

（1）公式：sin＝cosα，cos＝－sinα.

（2）公式五与公式六中角的联系eq\f(π,2)＋α＝π－.

公式七：sin=-cosα：cos=sinα

公式八：sin=-cosα,：cos=-sinα

【即学即练3】（24-25高一上·云南玉溪·阶段练习），那么（????）

A． B． C． D．

2.诱导公式的记忆

诱导公式口诀：“奇变偶不变，符号看象限”，意思是说角(为常整数)的三角函数值：

当为偶数时，正弦变余弦，余弦变正弦；当为偶数时，函数名不变，然后的三角函数值前面减上当视为锐角时原函数值的符号.

知识点02诱导公式的应用策略

1.利用诱导公式求任意角三角函数值的步骤

（1）“负化正”：用公式一或三来转化．

（2）“大化小”：用公式一将角化为0°到470°间的角．

（3）“角化锐”：用公式二或四将小于70°的角转化为锐角．

（4）“锐求值”：得到锐角的三角函数后求值．

2.利用诱导公式求值与求解解题策略

（1）条件求值问题的策略

①条件求值问题，首先要仔细观察条件与所求式之间的角、函数名称及有关运算之间的差异及联系．

②将已知式进行变形向所求式转化，或将所求式进行变形向已知式转化．

（2）给值求角问题，先通过化简已给的式子得出某个角的某种三角函数值，再结合特殊角的三角函数值逆向求角．

（3）观察互余、互补关系：如eq\f(π,3)－α与eq\f(π,6)＋α，eq\f(π,3)＋α与eq\f(π,6)－α，eq\f(π,4)－α与eq\f(π,4)＋α等互余，eq\f(π,3)＋θ与eq\f(2π,3)－θ，eq\f(π,4)＋θ与eq\f(3π,4)－θ等互补，遇到此类问题，不妨考虑两个角的和，要善于利用角的变换来解决问题.

【即学即练4】（24-25高三上·陕西西安·阶段练习）已知，则（）

A． B． C． D．

题型01给角求值

【典例1】（24-25高一上·山东淄博·阶段练习）（????）

A． B． C． D．

【变式1】（24-25高一上·江苏·阶段练习）的值是（???）

A． B．

C． D．

【变式2】（24-25高三上·北京·阶段练习）的值为（???）

A． B． C． D．

【变式3】（24-25高三上·湖南常德·阶段练习）求值：（????）

A． B． C． D．

【变式4】（23-24高一上·江苏扬州·期中）的值是（????）

A． B． C． D．

题型02给值求值

【典例2】（24-25高一上·江苏·阶段练习）已知，且是第四象限角，那么的值是（???）

A． B． C． D．

【变式1】（24-25高一上·江苏无锡·阶段练习）若是第四象限角，，则（???）

A． B． C． D．

【变式2】（24-25高一上·全国·随堂练习）已知，则的值等于（????）

A． B． C． D．

【变式3】（24-25高一上·全国·课后作业）已知在中，，则（????）

A． B． C． D．

题型03利用诱导公式求值、化简

【典例3】（24-25高三上·天津河西·期中）化简：.

【变式1】（24-25高一上·全国·课后作业）已知．

(1)化简；

(2)若，求的值．

【变式