(人教B版)2025秋高中数学必修三同步讲义第12讲向量数量积的概念(4个知识点+4类热点题型讲练+习题巩固)(学生版+解析).docxVIP

第01讲向量数量积的概念

课程标准

学习目标

1．掌握平面向量的夹角的概念；

2．掌握平面向量的数量积的定义、性质；

3．了解向量投影的概念以及投影向量的意义.

1．理解平面向量数量积的含义，会计算两个向量的数量积；体会平面向量数量积与向量投影数量之间的关系；会计算两个向量的夹角。

2．通过本节的学习，减深同学们对数学基础性的理解，减强数学学科与物理学科的学科融合，体会数学的实用性。

知识点01向量的夹角

1、如图,已知两个非零向量,O是平面上的任意一点,作,则叫做向量与的夹角，记作.

显然,当时,与同向;当时,与反向.

2、如果与的夹角是,我们说与垂直,记作.

【即学即练1】（24-25高一·上海·课堂例题）若为等边三角形，求下列各角：

(1)；

(2)；

(3)．

知识点02向量数量积的定义

已知两个非零向量与,它们的夹角为,我们把数量叫做向量与的数量积(或内积),记作,则

规定:零向量与任一向量的数量积为0.

【即学即练2】（24-25高一下·全国·课后作业）已知，与的夹角为，则（???）

A．1 B．2 C．3 D．4

知识点03向量的投影向量

1、如图（1）,设是两个非零向量，，作如下的变换：过的起点和终点，分别作所在直线的垂线，垂足分别为得到，则称上述变换为向量在向量投影，叫做向量在向量上的投影向量.

2、如图（2）,在平面内任取一点O,作,过点作直线的垂线,垂足为,则就是向量在向量上的投影向量.

3、设与方向相同的单位向量为,与的夹角为,对任意的,都有

【即学即练3】（24-25高一下·河北·期末）已知是夹角为的单位向量，则在方向上的投影向量为（????）

A． B． C． D．

知识点04向量数量积的性质

设向量与都是非零向量,它们的夹角为,是与方向相同的单位向量,则

（1）；（2）；（3）；

【注】当与同向时,；当与反向时，.

（4）；（5）或

【即学即练4】（多选）（24-25高一下·全国·随堂练习）对于任意向量，，，下列命题中不错误的是（????）

A．若，则与中至少有一个为

B．向量与向量夹角的范围是

C．若，则

D．

题型01向量数量积的相关概念

【典例1】（23-24高一下·河南郑州·阶段练习）设，都是非零向量，下列四个条件中，能使一定成立的是（????）

A． B．

C． D．

【变式1】（24-25高一上·全国·单元测试）若均为非零向量，则是与共线的（????）

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充分必要条件

D．既不充分又不必要条件

【变式2】（24-25高一下·全国·单元测试）已知下列命题中：

（1）若，且，则或；

（2）若，则或；

（3）若不平行的两个非零向量，满足，则；

（4）若与平行，则；

（5）.

其中真命题的个数是（????）

A． B． C． D．

【变式3】（23-24高一下·黑龙江佳木斯·期末）“平面向量，平行”是“平面向量，满足”的（????）

A．充分非必要条件B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【变式4】以下关于两个非零向量的数量积的叙述中，错误的是（????）

A．两个向量同向共线，则他们的数量积是正的 B．两个向量反向共线，则他们的数量积是负的

C．两个向量的数量积是负的，则他们夹角为钝角 D．两个向量的数量积是0，则他们互相垂直

题型02平面向量的夹角

【典例2】（23-24高一下·吉林·期中）已知向量，的夹角为，，且，则（????）

A． B． C． D．

【变式1】（2025高二·全国·专题练习）已知外接圆圆心为，且，则向量与的夹角为（????）

A． B． C． D．

【变式2】（24-25高一下·全国·课后作业）已知向量在上的投影的数量为，，则向量与的夹角等于（???）

A． B． C． D．

【变式3】（24-25高一上·上海·课后作业）已知，，，夹角.

题型03向量数量积的简单计算

【典例3】（24-25高一·上海浦东新·期末）在边长为3的等边三角形中，，则（????）

A． B． C． D．-

【变式1】（24-25高三上·北京房山·期中）已知向量在正方形网格中的位置如图所示，若网格中每个小正方形的边长均为1，则（???）

A． B． C． D．

【变式2】（24-25高三上·湖南·阶段练习）已知为单位圆的内接正三角形，则（???）

A． B． C．1 D．

【变式3】（24-25高二上·上海宝山·期末）若向量满足，且的夹角为，则.

【变式4】（24-25高一下·全国·课堂例题）已知，在上的投影的数量为6，则．

【变式5】（24-25高一下·全国·课堂例题）在等腰直角三角形ABC中，若，，则的值等于．

题型04求向量的投影