(人教B版)2025秋高中数学必修三同步讲义第09讲余弦函数的性质与图像(2个知识点+13类热点题型讲练+习题巩固)(学生版+解析).docxVIP

第09讲余弦函数的性质与图象

课程标准

学习目标

1．会用“五点法”“图像变换法”作余弦函数和y＝Acos(ωx＋φ)的图像．

2．理解余弦函数的性质，会求余弦函数的周期、单调区间及最值．

1．通过余弦函数图像和性质的学习，培养学生的直观想象核心素养．

2．借助余弦函数图像和性质的应用，提升学生的直观想象和数学运算核心素养.

知识点01余弦函数的图象

1．余弦函数与余弦曲线：对于任意一个角，都有唯一确定的余弦与之对应，所以是一个函数，一般称为余弦函数。函数的图象成为余弦曲线。

2．余弦函数图象的三种画法

（1）描点法：同正弦曲线的画法，通过列表、描点、连线、作图画出余弦函数在上的图象；

（2）五点法：在函数，的图象上，有5个关键点：，，，，，描出五个关键点后，用平滑的曲线连接，可得，的图象。

（3）平移法：根据诱导公式，可知的图象可由的图象向左平移个单位得到（如图所示）。

【即学即练1】（23-24高一上·陕西宝鸡·阶段练习）用“五点法”作的图象，首先描出的五个点的横坐标是（????）

A．0，，π，，2π

B．0，，，，π

C．0，π，2π，3π，4π

D．0，，，，

知识点02余弦函数的性质

1．定义域与值域：定义域为R，值域为

当且仅当，时，；

当且仅当，时，；

2．奇偶性：偶函数

3．周期性：最小正周期为

4．单调性：单调增区间为；单调减区间为

5．对称性：对称轴为，对称中心为

【即学即练2】（24-25高一上·全国·课后作业）已知函数，则下列说法错误的是（????）

A．是最小正周期为的偶函数

B．是最小正周期为的偶函数

C．是最小正周期为的奇函数

D．是最小正周期为的奇函数

题型01五点法作余弦函数图像

【典例1】（24-25高一上·全国·课后作业）用五点法画出函数在区间内的图象．

【变式1】用“五点法”作的图象，首先描出的五个点的横坐标是（）

A． B．

C． D．

【变式2】函数的简图是（????）

B．

C． D．

【变式3】（23-24高一上·河南商丘·期末）已知函数.

(1)填写下表，并画出在上的图象；

0

(2)写出的解集.

题型02余弦函数与不等式

【典例2】（24-25高一下·黑龙江·阶段练习）函数定义域为（????）

A． B．

C． D．

【变式1】（24-25高一上·山东德州·阶段练习）满足的角的集合为（????）

A． B．

C． D．

【变式2】函数定义域为（）

A． B．

C． D．

【变式3】函数的定义域为.

【变式4】（23-24高一下·四川成都·阶段练习）在内，使成立的x的取值范围是．

题型03余弦函数的周期性

【典例3】（2025·宁夏内蒙古·模拟预测）函数的最小正周期是（???）

A． B． C． D．

【变式1】（23-24高一下·山东日照·期中）函数的最小正周期是（????）

A． B． C．1 D．2

【变式2】（2024高一上·全国·专题练习）若函数的最小正周期是2，则的值为（）

A． B．π

C． D．

【变式3】（23-24高三下·湖南岳阳·开学考试）设函数，若对于任意的，都有，则的最小值为（????）

A．4 B．2 C．1 D．

题型04余弦函数的奇偶性

【典例4】（24-25高一上·浙江杭州·阶段练习）“”是“函数为奇函数”的（????）

A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【变式1】（24-25高一上·福建福州·阶段练习）已知函数是偶函数，则的值为（????）

A． B．1 C．1或 D．

【变式2】（23-24高一上·广西柳州·期末）已知函数是奇函数，则时，．

【变式3】（23-24高一下·北京·期末）已知函数为奇函数，则不不符合的一个的取值可以为.

【变式4】（23-24高二上·广西贵港·期末）已知函数是奇函数，则．

题型05余弦函数的对称性

【典例5】（23-24高一下·山东临沂·期中）已知函数图象关于直线对称，且关于点对称，则的值可能是（????）

A．7 B．9 C．11 D．13

【变式1】（24-25高一上·黑龙江哈尔滨·期末）函数图象的一个对称中心为（????）

A． B． C． D．

【变式2】已知函数，则下列结论错误的是（????）

A．的最小正周期为

B．的最小值为2

C．的图象关于直线对称

D．的图象关于坐标原点对称

【变式3】（2024·陕西榆林·二模）若函数的图象关于直线对称，则（????）

A． B． C． D．

【变式4】（24-25高一上·全国·课后作业）已知函数的图象关于原点中心对称，则的最小值为（????）

A． B． C． D．

题型0