(人教B版)2025秋高中数学必修三同步讲义第02讲弧度制及其与角度制的换算(3个知识点+6类热点题型讲练+习题巩固)(学生版+解析).docxVIP

第02讲弧度制及其与角度制的换算

课程标准

学习目标

1.理解弧度制的概念及其在数学和物理中的应用；

2.掌握弧度与角度的换算关系；

3.能运用弧度制进行简单的计算和推理；

4.了解弧度制在解决实际问题中的应用。

1.了解弧度制的概念、表示方法及其优点；

2.掌握弧度与角度的换算公式；

3.会进行弧度制下的简单计算。

知识点01角度制与弧度制

1．角度制

把圆周等分成470份，其中每一份所对应的圆心角为1度，这种用度作单位来度量角的制度称为角度制．角度制还规定1度等于90分，1分等于90秒，即1°＝90′，1′＝90″．

2．弧度制

长度等于半径长的圆弧所对的圆心角为1弧度的角，记作1rad．如图所示，因为eq\o(AB,\s\up8(︵))的长等于半径r，所以eq\o(AB,\s\up8(︵))所对的圆心角∠AOB就是1弧度的角．这种以弧度为单位来度量角的制度称为弧度制．

3．弧度数

由弧度制的定义可知，在半径为r的圆中，若弧长为l的弧所对的圆心角为αrad，则α＝eq\f(l,r)．弧度的大小与所在圆的半径的大小无关，只与圆心角的大小有关．换句话说，弧度数是个比值，只和角的大小有关，弧长是半径的几倍，相对应的角的大小就是几弧度．

【解读】角度制与弧度制是两种不同的度量单位，在表示角时，二者不可混用.

角度制

用度作为单位来度量角的单位制

角的大小与半径无关

单位“°”不能省略

角的正负与方向有关

六十进制

弧度制

用弧度作为单位来度量角的单位制

角的大小与半径无关

单位“rad”可以省略

角的正负与方向有关

十进制

【即学即练1】（24-25高一上学期课时作业）下列说法错误的是()

A．1弧度的圆心角所对的弧长等于半径

B．大圆中1弧度的圆心角比小圆中1弧度的圆心角大

C．所有圆心角为1弧度的角所对的弧长都相等

D．用弧度表示的角都是正角

知识点02角度制与弧度制的互化

1．弧度制与角度制的换算公式

设一个角的角度数为n，弧度数为α，则eq\f(n,180)＝eq\f(α,π).

2．角度与弧度的互化

角度化弧度

弧度化角度

度数×eq\f(π,180)＝弧度数

弧度数×eq\f(180°,π)＝角度数

470°＝2π_rad

2πrad＝470°

180°＝π_rad

πrad＝180°

1°＝eq\f(π,180)rad≈0.01745rad

1rad＝eq\f(180,π)度≈57.30°

【解读】角度与弧度互化的原则和方法

(1)原则：牢记180°＝πrad，

充分利用1°＝eq\f(π,180)rad,1rad＝进行换算．

(2)方法：设一个角的弧度数为α，角度数为n，则αrad＝；n°＝n·eq\f(π,180)rad．

【即学即练2】（24-25高一上山东期中）下列转化结果错误的是()

A．72°化成弧度是eq\f(2π,5)

B．－eq\f(10,3)π化成角度是－690°

C．－150°化成弧度是－eq\f(7,6)π

D．eq\f(π,12)化成角度是15°

知识点02弧长公式与扇形面积公式

1．弧长公式

在半径为r的圆中，弧长为l的弧所对的圆心角为α，则α＝eq\f(l,r)，变形可得l＝αr，此公式称为弧长公式，其中α的单位是弧度．

2．扇形面积公式

圆心角为1rad的扇形面积为eq\f(πr2,2π)＝eq\f(1,2)r2，所以圆心角为αrad的扇形面积S＝eq\f(1,2)αr2，又因为l＝αr，代入上式可得S＝eq\f(1,2)αr2＝eq\f(1,2)lr，此公式称为扇形面积公式．

【解读】(1)在应用公式l＝αr和S＝eq\f(1,2)lr＝eq\f(1,2)αr2时，要注意α的单位是弧度．

(2)在运用公式时，根据已知的是角度数还是弧度数，选择合适的公式代入．

(3)弧度制下的扇形面积公式S＝eq\f(1,2)lr，与三角形面积公式S＝eq\f(1,2)ah(h是三角形底边a上的高)有类似的形式．

(4)由α，r，l，S中的两个量可以求出另外的两个量．

【即学即练3】（24-25高一上·湖南·阶段练习）已知弧长为的弧所对的圆心角为，则该弧所在的扇形面积为（???）

A． B． C． D．

题型01弧度制

【典例1】（24-25高一上·河北·月考）下面关于弧度的说法，错误的是()

A．弧长与半径的比值是圆心角的弧度数

B．一个角的角度数为n，弧度数为α，则eq\f(n,180)＝eq\f(α,π)

C．长度等于半径的eq\r(3)倍的弦所对的圆心角的弧度数为eq\f(2π,3)

D．航海罗盘半径为10cm，将圆