(人教B版)2025秋高中数学必修三同步讲义第10讲正切函数的性质与图像(3个知识点+10类热点题型讲练+习题巩固)(学生版+解析).docxVIP

第10讲正切函数的性质与图象

课程标准

学习目标

1．能画出正切函数的图像

2．会利用y＝tanx的性质确定与正切函数有关的函数性质．

3．会利用正切函数的单调性比较函数值大小．

4．掌握正切函数的定义域及正切曲线的渐近线．

1．通过正切函数图像与性质的学习，培养学生直观想象核心素养．

2．借助正切函数图像与性质的应用，提升学生直观想象和数学运算核心素养.

知识点01正切函数的定义

对于任意一个角x，只要，就有唯一确定的正切值tanx与之对应，因此y＝tanx是一个函数，称为正切函数．

【即学即练1】（24-25高一上·浙江宁波·期末）函数的定义域为（???）

A． B．

C． D．

知识点02正切函数的性质

定义域、

值域

定义域为，值域为R

奇偶性

奇函数

周期

π

单调性

单调增区间(k∈Z)

零点

kπ，k∈Z

【解读】(1)正切曲线在x轴上方的部分下凸，在x轴下方的部分上凸，画图时，要注意曲线的光滑性及凸凹性．

(2)正切曲线是被与y轴平行的一系列直线x＝eq\f(π,2)＋kπ，k∈Z所隔开的无穷多支形状相同的曲线组成的．这一系列直线也称为正切曲线的渐近线，即无限接近但不相交．

(3)正切曲线是中心对称图形，其对称中心为，k∈Z.

(4)正切曲线没有对称轴，但有无数条渐近线，渐近线方程为x＝kπ＋eq\f(π,2)，k∈Z.

【即学即练2】（24-25高一上·黑龙江齐齐哈尔·期末）函数的单调递增区间为.

知识点03正切函数的图像

(1)正切函数的图像

y＝tanx的图像如图．

(2)正切函数的图像叫做正切曲线．

(3)正切函数的图像特征

正切曲线是由通过点且与y轴平行的直线隔开的无穷多支曲线所组成．

【即学即练3】（24-25高一上·安徽淮南·阶段练习）与函数的图象不相交的一条直线是（????）

A． B．

C． D．

题型01正切函数的定义域

【典例1】（24-25高一上·江苏镇江·期末）函数的定义域是.

【变式1】（24-25高一上·全国·课后作业）函数的定义域为（????）

A． B．

C． D．

【变式2】（24-25高一上·广东·期末）函数的定义域为.

【变式3】（24-25高一上·山东烟台·期末）函数的定义域为.

【变式4】（23-24高一下·上海黄浦·期末）设，若函数的.定义域为，则的值为．

题型02正切函数的值域与最值

【典例2】（23-24高一下·江西·阶段练习）函数，的值域为（????）

A． B． C． D．

【变式1】（24-25高一上·全国·课后作业）函数的最小值为.

【变式2】函数在的最小值为7，最小值为3，则ab为（????）

A． B． C． D．

【变式3】已知在区间上的最小值为，则（????）

A． B． C． D．

【变式4】当时,函数的最小值是

A． B． C． D．4

题型03正切函数的周期性

【典例3】（24-25高一上·黑龙江牡丹江·期末）函数的最小正周期为（???）

A． B． C． D．

【变式1】（24-25高一上·甘肃白银·期末）函数的最小正周期为（????）

A．16 B．8 C． D．

【变式2】（24-25高一上·吉林四平·期末）“的最小正周期为是”“的（????）

A．必要不充分条件 B．充分不必要条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

【变式3】（24-25高一上·重庆·期末）若函数的最小正周期为，则常数．

【变式4】（24-25高一上·北京·期末）若函数的最小正周期为，则的值是.

题型04正切函数的奇偶性

【典例4】（24-25高一上·全国·课后作业）已知函数，则下列说法中错误的是（????）

A．是最小正周期为的偶函数 B．是最小正周期为的偶函数

C．是最小正周期为的奇函数 D．是最小正周期为的奇函数

【变式1】（24-25高一上·全国·课后作业）函数（????）

A．是奇函数 B．是偶函数

C．是非奇非偶函数 D．既是奇函数又是偶函数

【变式2】函数的奇偶性是．

【变式3】（24-25高一上·黑龙江齐齐哈尔·期末）已知函数，且，则.

【变式4】（23-24高一上·河北邢台·阶段练习）已知函数的图象关于原点中心对称，则的最小值为．

题型05正切函数的对称性

【典例5】（24-25高一上·湖南株洲·期末）若函数的图像的两个对称中心的最短距离为，则的值为（????）

A． B． C． D．

【变式1】（23-24高一下·辽宁沈阳·阶段练习）已知函数，则下列说法不错误的是（???