(人教B版)2025秋高中数学必修三同步讲义第04讲单位圆与三角函数线(2个知识点+5类热点题型讲练+习题巩固)(学生版+解析).docxVIP

第04讲单位圆与三角函数线

课程标准

学习目标

1．了解三角函数线的意义，能用三角函数线表示一个角的正弦、余弦和正切．(重点)

2．能利用三角函数线解决一些简单的三角函数问题．

1．通过三角函数线概念的学习，培养学生的数学抽象和直观想象核心素养．

2．借助三角函数线的应用，培养学生的逻辑推理及直观想象核心素养.

知识点01正弦线与余弦线

1、单位圆与三角函数：在平面直角坐标系中，坐标满足的点做成的集合，角的终边与单位圆相交于点，如图，

则，，，则角的终边与单位圆的交点为

2、三角函数线综合图示

（1）过角的终边与单位圆的交点作轴的垂线，垂足为；

（2）角的终边（或其反向延长线）与直线交于点。

3、正弦线的定义：为角的正弦线

的方向与轴的正方向相同时，表示是正数，且；

的方向与轴的正方向相反时，表示是负数，且。

4、余弦线的定义：为角的余弦线

的方向与轴的正方向相同时，表示是正数，且；

的方向与轴的正方向相反时，表示是负数，且。

【即学即练1】（2024高一上·江苏·专题练习）如图，在单位圆中，角α的正弦线、正切线完全错误的是（）

A．正弦线为，正切线为

B．正弦线为，正切线为

C．正弦线为，正切线为

D．正弦线为，正切线为

知识点02正切线

1、正切线的定义：为角的正切线

当角的终边在第二、三象限或轴的负半轴上，终边与直线没有交点，但终边的反向延长线与有交点，而且交点的纵坐标也正好是角的正切值。

2、三角函数线的特征

（1）位置：三条三角函数线中有两条在以坐标为原点的单位圆内，一条以坐标原点为圆心的单位圆外；

（2）方向：正弦线由垂足指向的终边与单位圆的交点；余弦线由原点指向轴上的垂足；正切线由切点指向切线与的终边（或其反向延长线）的交点；

（3）正负：三条三角函数线的正负可简记为“同向为正，反向为负”；

（4）书写：起点（比如点）在前，终点（比如点）在后，写为

【即学即练2】（24-25高一上·全国·随堂练习）角和角有相同的（????）

A．正弦值 B．余弦值 C．正切线 D．不能确定

题型01三角函数线的作法

【典例1】（24-25高一上·全国·课前预习）作出下列各角的正弦线、余弦线与正切线.

(1)；

(2).

【变式1】（24-25高一上·上海·课前预习）请作出下列各角的正弦线：

(1)；

(2)；

(3).

【变式2】（24-25高一上·全国·课后作业）已知，在单位圆中角θ的正弦线、余弦线、正切线分别是，则它们的大小关系是（????）

A． B．

C． D．

题型02利用三角函数线比较大小

【典例2】（（24-25高一上·全国·课后作业）把，，，由小到大排列为．

【变式1】（23-24高一下·北京顺义·阶段练习）已知，那么下列命题成立的是（????）

A．若，是第一象限角，则

B．若，是第二象限角，则

C．若，是第三象限角，则

D．若，是第四象限角，则

【变式2】（24-25高一下·全国·课后作业）利用正弦线比较的大小关系是（????）

A． B．

C． D．

【变式3】（23-24高一下·北京·期中）若，则下列关系中错误的是（????）

A． B．

C． D．

题型03利用三角函数线解不等式

【典例3】（24-25高一下·广西北海·期中）在上，使不等式成立的x的集合为（????）

A． B．

C． D．

【变式1】（2024高一·全国·专题练习）使成立的x的一个变化区间是（????）

A． B．

C． D．

【变式2】若，且，，利用三角函数线，得到的取值范围是.

【变式3】（23-24高一下·上海·假期作业）（1）已知，求：满足条件的角的取值范围；

（2）已知，求：满足条件的角的取值范围；

题型04利用三角函数线证明不等式

【典例4】（24-25高一上·上海·课后作业）应用单位圆证明：若，则.

【变式1】（2024高一·上海·专题练习）若，证明：

(1)；

(2).

题型05新定义问题

【典例5】（2024·浙江·二模）古人把正弦函数、余弦函数、正切函数、余切函数、正割函数、余割函数、正矢函数、余矢函数这八种三角函数的函数线合称为八线.其中余切函数，正割函数，余割函数，正矢函数，余矢函数.如图角始边为轴的非负半轴，其终边与单位圆交点，、分别是单位圆与轴和轴正半轴的交点，过点作垂直轴，作垂直轴，垂足分别为、，过点作轴的垂线，过点作轴的垂线分别交的终边于、，其中、、、为有向线段，下列表示错误的是（????）

??

A． B．

C． D．

【变式1】（23-24高一下·湖北·期末）如图所示，角（）的顶点为坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，其终边与单位圆的交点为，分别过点作轴的垂线，过点作轴的垂线交角的终边于，，根据三角函数的定义，．现在定义余切函数，