(人教B版)2025秋高中数学必修三同步讲义第14讲向量数量积的坐标运算(2个知识点+7类热点题型讲练+习题巩固)(学生版+解析).docxVIP

第03讲向量数量积的坐标运算

课程标准

学习目标

1.掌握平面向量数量积的坐标表示，会进行平面向量数量积的坐标运算.

2.能够用两个向量的坐标来解决与向量的模、夹角、垂直有关的问题.

1．掌握平面向量的数量积的坐标表示，掌握用坐标进行两个向量的模的计算，掌握用坐标判定或证明两个向量的垂直。

2．掌握一点间的距离公式、两个向量的夹角公式的坐标表示

知识点01平面向量的数量积与两向量垂直的坐标表示

设向量,

（1）数量积:两个向量的数量积等于它们对应坐标的除积的和,即

（2）向量垂直:

【即学即练1】（2025高二上·黑龙江·学业考试）已知向量，向量，则（????）

A．20 B．17 C．8 D．0

知识点02平面向量的模与夹角的坐标表示

（1）向量的模:设,则

（2）一点间的距离公式:若,则

（3）向量的夹角公式:设两非零向量,a与b的夹角为θ,则

【即学即练2】（24-25高二上·云南昭通·期中）若，，则（????）

A． B． C． D．

题型01数量积的坐标运算

【典例1】（24-25高一下·全国·课后作业）已知，，则（????）

A．8 B． C．28 D．32

【变式1】（2025·宁夏内蒙古·模拟预测）已知向量，则（???）

A．2 B．1 C．0 D．

【变式2】（23-24高二下·云南·期末）已知平面向量，，则（????）

A． B． C．1 D．5

【变式3】（24-25高三上·广东深圳·期中）设，，，则（????）

A． B．1 C． D．

【变式4】（2024高三·全国·专题练习）已知向量，，且，若，则（????）

A． B． C． D．

题型02向量模的坐标运算

【典例2】（24-25高一上·辽宁大连·期末）已知向量，，则（????）

A．2 B．3 C．4 D．5

【变式1】（2025·海南·模拟预测）已知向量，若，则（???）

A． B． C． D．

【变式2】（24-25高二上·云南昭通·期末）已知向量，若，则（????）

A． B． C． D．

【变式3】（2024高三·全国·专题练习）已知向量，，若向量且，则（????）

A． B． C． D．4

【变式4】（2024高三·全国·专题练习）已知向量，，若，则（????）

A． B．2 C．5 D．

题型03向量垂直的坐标运算

【典例3】（24-25高三上·广东·期末）已知向量，若，则（????）

A． B．2 C．4 D．

【变式1】（2024高三·全国·专题练习）已知，，若，则（????）

A．2 B． C． D．

【变式2】（24-25高三上·浙江·开学考试）已知向量，若，则（????）

A．1 B．2 C． D．

【变式3】（24-25高三上·江苏·期末）已知向量，，若，则（????）

A．3 B． C．4 D．0

【变式4】（2024高三·全国·专题练习）已知向量，，则下列关系错误的是（????）

A． B．

C． D．

题型04向量夹角的坐标运算

【典例4】（23-24高一下·天津·期中）若向量，，则与的夹角等于（????）

A． B． C． D．

【变式1】（24-25高三上·云南·阶段练习）已知向量且，则向量与的夹角为（???）

A． B． C． D．

【变式2】（23-24高一下·山东淄博·期中）在中，已知，，AB，BC边上的中线CE，AF交于点D，则（????）

A． B． C． D．

【变式3】（23-24高一下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知，若，则（????）

A． B． C． D．

【变式4】（24-25高三上·河北·期中）已知向量与向量夹角为钝角，则实数的取值范围是（????）

A． B．且

C． D．且

题型05根据坐标求投影向量

【典例5】（2024·黑龙江大庆·模拟预测）已知向量，则向量在向量上的投影向量为（????）

A． B．2 C． D．

【变式1】（24-25高二上·广东清远·期中）（周测二4)已知，，则在上的投影向量的坐标为（????）

A． B．

C． D．

【变式2】（24-25高三上·广东深圳·阶段练习）已知平面向量，则在方向上的投影向量为（???）

A． B． C． D．

【变式3】（24-25高三上·安徽·阶段练习）已知平面向量，，，，则在方向上的投影向量为（???）

A． B． C． D．

题型06利用坐标法求数量积

【典例6】（2024·陕西榆林·模拟预测）在等腰梯形中，为线段上的动点，则的值不可能为（????）

A．15 B．12 C．9 D．6

【变式1】（2024·湖北·二模）已知正方形的边长为2，若，则（????）

A．2 B． C．4 D．

【变式2】（2024高三·全国·专题练习）已知正方形的边长是4，是的中点，满足，则（????）

A．10