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上海交通大学附属中学2025年7月数学夏令营测试

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、填空题

1．已知，，则．

2．若，则代数式的值为．

3．若关于x，y的方程组有无数组解，则．

4．如图，通过画边长为1的正方形，就能准确地把表示在数轴上点处，记右侧最近的整数点为．以点为圆心，为半径画半圆，交数轴于点，记右侧最近的整数点为；以点为圆心，为半径画半圆，交数轴于点，…，如此继续，则的长为．

5．下列命题：①相等的角是对顶角；②算术平方根等于它本身的数有两个，分别是0和1；③已知关于的二元一次方程组，不论取什么有理数，的值始终不变；④已知正实数的平方根是和，若，则；⑤若不等式对一切实数都成立，则的最大值是5；其中真命题是：．（请填序号）

6．一个正整数能写成（均为正整数），则称为“美满数”，为的一个美满分解，并规定：．如果一个两位正整数（十位数字大于个位数字，交换其个位上的数与十位上的数得到的新数与原数是的一个美满分解，则的值为．

7．已知关于的多项式，当时，该多项式有2个整数值，则的取值范围是．

8．如图，在平面直角坐标系中，直线与正方形交于，两点，与轴交于点，已知点，则点的坐标为．

9．如图，平面直角坐标系中，直线与轴，轴分别交于两点，，点是直线上一动点，将点向左平移1个单位得到点，点，则的最小值为．

10．已知抛物线与轴交于两点，顶点为，如果为直角三角形，则．

11．如图，已知直线l与y轴、x轴分别交于A、B两点，与反比例函数的图象交于C、D两点．若C、D两点为线段的三等分点，连接、，则面积为．

二、解答题

12．某数学兴趣小组的同学在学习了《图形的相似》之后；对三角形的相似问题进行深入探究．

(1)【感知问题】如图1，在四边形中，点P在边上（点P不与A，B重合），．易证：．（不需要证明）

(2)【探究问题】如图2，在四边形中，点P在边上（点P不与点A，B重合），．求证：．

(3)【知识应用】如图3，在中，，．点P在边上（点P不与点A，B重合），连接，作，与边交于点E．

（i）当时，求的长；

（ii）当是等腰三角形时，求的长．

13．如图，直线与轴，轴及直线分别交于点，，．

(1)求点和点的坐标；

(2)为轴上点A右侧一动点，以，为邻边作，连接，．

①求的最小值；

②在点移动过程中，能否等于？若能，请求出此时点的坐标；若不能，请说明理由．

14．在矩形中，点E在边上，将线段绕点E顺时针旋转，点A的对应点F恰好落在上．

(1)如图1，求证：；

(2)连接，作的平分线交于点P，交于点M．

①如图2，判断点P是否为线段的中点，并说明理由；

②如图3，连接交于点N，若，求的长．

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《上海交通大学附属中学2025年7月数学夏令营测试》参考答案

1．/

【分析】根据题意用表示出，代入原式计算即可得到结果．

【详解】由得：，

代入中化简得：，

代入中得：，

因为，所以，

故答案为：

2．10

【分析】求得，结合平方差公式求解即可.

【详解】因为，

所以，所以.

故答案为：10.

3．

【分析】因为方程组的解有无数组得出的值即可求解.

【详解】因为关于x，y的方程组有无数组解，

则直线重合，所以，

则．

故答案为：

4．

【分析】根据给定条件，求出数轴上点坐标，进而求出得解.

【详解】依题意，数轴上点对应的数记为，

则，，；

；

；

；

；

；

，

所以的长为.

故选：

5．②③④

【分析】根据对顶角、平方根、解二元一次方程组、代数式求值、绝对值等知识逐项判断即可．

【详解】①对顶角一定相等，但相等的角不一定是对顶角，所以①是假命题；

②算术平方根等于它本身的数有两个，分别是0和1，即②是真命题．

③解方程组可得：，则，

所以不论取什么有理数，的值始终不变，③是真命题．

④因为正实数的平方根是和，

所以，即，且，

因为，

所以，即，

因为正实数，则，④是真命题．

⑤：设，

当时，；

当时，；

当时，．

所以的最小值是3，

若不等式对一切实数a都成立，则，即m的最大值是3，则⑤是假命题．

故答案为：②③④．

6．

【分析】由题意设这个两位正整数的十位数字为，个位数字为，则原数为，