第三章 微专题三　利用导数研究函数的零点.pptxVIP

简洁实用高效微专题三利用导数研究函数的零点数学

内容索引关键能力提升第一部分考点1数形结合法研究函数的零点考点2利用函数的性质研究函数的零点010203课时作业第二部分考点3构造函数法研究函数的零点

能利用导数判断函数零点的个数或范围，能根据函数的零点求参数的取值范围，理解零点的几何意义，体会函数图象在解决此类问题中的作用．

互动探究·考点精讲关键能力提升第分部一

考点1数形结合法研究函数的零点【例1】（2024·广东汕头三模节选）已知函数f(x)＝x(ex－ax2).若f(x)在(0，＋∞)上只有一个零点，求a的值．【解】函数f(x)＝x(ex－ax2)在(0，＋∞)上只有一个零点，等价于y＝ex－ax2在(0，＋∞)上只有一个零点．

规律总结含参数的函数的零点个数，可转化为方程解的个数，若能分离参数，则可将参数分离出来，用x表示参数的函数，作出该函数的图象，根据图象特征求参数的范围或判断零点个数．

(1)当a＝1时，求f(x)的最大值；

令f′(x)＝0，得x＝±1.∵x0，∴当x∈(0，1)时，f′(x)0，函数f(x)单调递增，当x∈(1，＋∞)时，f′(x)0，函数f(x)单调递减，

(2)讨论函数f(x)在区间[1，e2]上零点的个数．

考点2利用函数的性质研究函数的零点【例2】（2024·河南郑州三模）已知函数f(x)＝eax－x，讨论f(x)的零点个数．【解】由题意知f′(x)＝aeax－1.当a≤0时，f′(x)0，f(x)在R上单调递减，又f(0)＝10，f(1)＝ea－1≤0，故f(x)存在一个零点，此时f(x)的零点个数为1.

规律总结利用函数性质研究函数的零点，主要是根据函数的单调性、奇偶性、最值或极值的符号确定函数零点的个数，此类问题在求解过程中可以通过数形结合的方法确定函数存在零点的条件．

【对点训练2】（2024·广东梅州二模）已知函数f(x)＝ex，g(x)＝x2＋1，h(x)＝asinx＋1(a0).(1)求证：当x∈(0，＋∞)时，f(x)g(x)；解：证明：令G(x)＝f(x)－g(x)＝ex－x2－1，则G′(x)＝ex－2x.记p(x)＝ex－2x，则p′(x)＝ex－2，当x∈(0，ln2)时，p′(x)0，当x∈(ln2，＋∞)时，p′(x)0，所以p(x)在(0，ln2)上单调递减，在(ln2，＋∞)上单调递增，从而在(0，＋∞)上，G′(x)＝p(x)≥p(ln2)＝2－2ln20，所以G(x)在(0，＋∞)上单调递增，因此在(0，＋∞)上，G(x)G(0)＝0，即f(x)g(x).

(2)讨论函数F(x)＝f(x)－h(x)在(0，π)上的零点个数．解：F(x)＝f(x)－h(x)＝ex－asinx－1，F′(x)＝ex－acosx.若0a≤1，则在(0，π)上，F′(x)＝ex－acosx1－a≥0，所以F(x)在(0，π)上单调递增，则F(x)F(0)＝0，即函数F(x)在(0，π)上无零点；若a1，记q(x)＝F′(x)＝ex－acosx，则在(0，π)上，q′(x)＝ex＋asinx≥0，所以q(x)在(0，π)上单调递增，

所以当0xx0时，F(x)单调递减，x0xπ时，F(x)单调递增，F(x)min＝F(x0)，而F(x0)F(0)＝0，F(π)＝eπ－10，所以F(x)在(0，x0)上无零点，在(x0，π)上有唯一零点．综上，当0a≤1时，F(x)在(0，π)上没有零点；当a1时，F(x)在(0，π)上有且仅有1个零点．

考点3构造函数法研究函数的零点

规律总结1．涉及函数的零点（方程的根）问题，主要利用导数确定函数的单调区间和极值点，根据函数零点的个数寻找函数在给定区间内的极值以及区间端点的函数值与0的关系，从而求得参数的取值范围．2．构造函数的常用方法：①直接作差构造函数；②作商转化为两个函数；③指对同构构造函数．

【对点训练3】已知函数f(x)＝ex＋x＋4ln(2－x)，判断函数f(x)的零点个数，并说明理由．解：方法一函数f(x)有两个零点．理由如下：

当x0时，h′(x)0，h(x)单调递增，当0x2时，h′(x)0，h(x)单调递减，所以h(x)≤h(0)＝0，故g′(x)≤0，所以g(x)在(－∞，2)上为减函数，所以当x0时，g(x)g(0)＝0，即当x0时，f′(x)0，f(x)在(－∞，0)上单调递增，当0x2时，g(x)g(0)＝0，即当0x2时，f′(x)0，f(x)在(0，2)上单调递减．又因为f(2－e6)＝＋2－e6＋240，f(0)＝e0＋0＋4ln20，f(2－e-6)＝＋2－e-6－24e2－220，所以f(x)在区间(2－e6，0)，