第七章 7.5　几何法求空间角和距离.pptxVIP

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;;考点1求距离;D;;(1)求证：BM∥平面CDE；

解：证明：由题意知MD＝2，BC＝2，MD∥BC，所以四边形BCDM为平行四边形，故BM∥CD，又因为BM?平面CDE，CD?平面CDE，所以BM∥平面CDE.;(2)求M到平面FAB的距离．

;考点2求线面角;;;即斜线与平面内一条直线夹角θ的余弦值等于斜线与平面所成角θ1的余弦值乘射影与平面内直线夹角θ2的余弦值．(为了便于记忆，可设θ为斜线角，θ1为线面角，θ2为射影角)

2．定理说明：这三个角中，角θ是最大的，其余弦值最小，等于另外两个角的余弦值之积．斜线与平面所成角θ1是斜线与平面内所有直线所成的角中最小的角．

;【典例】(1)正四面体ABCD中，O为△BCD的重心，则cos∠ABO＝__．

方法二如图，由三余弦定理，得

cos∠ABD＝cos∠ABO·cos∠OBD，

显然∠ABD＝60°，∠OBD＝30°，所以

;45°;考点3求二面角;;;【典例】已知△ABC与△BCD所在平面垂直，且AB＝BC＝BD，∠ABC＝

∠DBC＝120°，则二面角A--BD--C的余弦值为____．

【解析】如图，过A作AE⊥CB交CB的延长线于E，连接DE.

;【对点训练3】在《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑．已知四面体PABC为鳖臑，且PA＝AB，AC＝BC，记二面角A-PB-C的平面角为θ，则sinθ＝()

;解析：由题意设PA⊥AB，PA⊥AC，BC⊥AC，BC⊥PC，取PB的中点M，过点M作MN⊥PB交PC于点N，连接AM，AN，如图所示．

;;A;2．(5分)正方体ABCD--A1B1C1D1的棱长为a，则棱BB1到平面AA1C1C的距离为();3．(5分)如图，已知正方体ABCD--A1B1C1D1的棱长为1，点E是棱AB的中点，则点A到平面EB1C的距离为();4．(5分)已知在三棱锥S--ABC中，SA⊥SB，SB⊥SC，SA⊥SC，且△ABC为等边三角形，则二面角S--AB--C的正切值为();D;6．(5分)(2024·广东梅州模拟)已知二面角α--l--β为60°，点A∈α，AC⊥l，C为垂足，点B∈β，BD⊥l，D为垂足，且AC＝3，CD＝1，DB＝2，则线段AB的长为();ABC;8．(6分)(多选)在正方体ABCD--A1B1C1D1中，下列选项中正确的是()

A．A1C1⊥BD

B．B1C与BD所成的角为60°

C．二面角A1--BC--D的平面角为30°

D．AC1与平面ABCD所成的角为45°;解析：如图，在正方体ABCD--A1B1C1D1中，可得A1C1∥AC，在正方形ABCD中，可得AC⊥BD，所以A1C1⊥BD，所以A正确；在正方体ABCD-A1B1C1D1中，可得B1D1∥BD，所以异面直线B1C与BD所成的角，即为B1C与B1D1所成的角，即∠D1B1C或其补角，因为△D1B1C为等边三角形，所以∠D1B1C＝60°，所以B正确；在正方体ABCD--A1B1C1D1中，可得BC⊥平面ABB1A1，因为AB，A1B?平面ABB1A1，所以BC⊥AB，BC⊥A1B，所以∠A1BA为二面角A1-BC-D的平面角，在等腰直角三角形A1AB中，可得∠A1BA＝45°，即二面角A1-BC-D的平面角为45°，所以C错误；在正方体ABCD--;9．(5分)在正三棱柱ABC--A′B′C′中，AB＝1，AA′＝2，则直线BC′与平面

ABB′A′所成角的正弦值为_____．

;10．(5分)在正三棱柱ABC--A1B1C1中，AB＝AA1＝2，则直线AA1到平面BB1C1C的距离为_____．;(2)若点M在棱BC上，且MC＝2MB，求点C到平面POM的距离．

;12．(16分)已知四棱锥P--ABCD如图所示，AB∥CD，BC⊥CD，AB＝BC＝2，CD＝PD＝1，△PAB为等边三角形．

(1)求证：PD⊥平面PAB；;解：(1)证明：如图，取AB的中点E，连接PE，DE.

∵AB＝BC＝2，CD＝PD＝1，△PAB为等边三角形，

BE＝CD.

∵EB∥CD，∴四边形BCDE是平行四边形，

∴DE＝CB＝2，DE∥CB.

∵BC⊥CD，∴AB⊥ED.

∵PE∩ED＝E，PE，ED?平面PED，;∴AB⊥平面PED.

∵PD?平面PED，∴AB⊥PD.

∵DE2＝PD2＋PE2，∴PD⊥PE.

∵AB∩PE＝E，AB，PE?平面PAB，

∴PD⊥平面PAB.

;(2)求二面角P--CB--A的余弦值．

解：如图，过点P作PO⊥ED于点O，过点O作OH⊥CB于点H，连接PH.

由(1)知AB⊥平面PED，又AB?平面ABCD，∴平面PED⊥平