第七章 7.7　向量法求空间角和距离.pptxVIP

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;;用空间向量研究距离、夹角问题;1．确定平面的法向量的方法

(1)直接法：观察是否有垂直于平面的向量，若有可直接确定．

;2．方向向量和法向量均不为零向量且不唯一．

3．当异面直线的方向向量的夹角为锐角或直角时，此夹角就是此异面直线所成的角；当异面直线的方向向量的夹角为钝角时，此夹角的补角才是异面直线所成的角．;1．判断（正确的画“√”，错误的画“×”）

(1)两直线的方向向量所成的角就是两条直线所成的角．()

(2)直线的方向向量与平面的法向量所成的角就是直线与平面所成的角．()

(3)两个平面的法向量所成的角是这两个平面的夹角．()

;C;3．（人教A版选择性必修第一册P43T10改编）在空间直角坐标系中，若直线l的方向向量是v＝(－2，2，1)，平面α的一个法向量是n＝(2，0，1)，则

直线l与平面α所成角的正弦值为__．

;4．（人教A版选择性必修第一册P35T3改编）已知平面α经过点B(1，0，0)，且α的法向量n＝(1，1，1)，则点P(2，2，0)到平面α的距离为__．

;;考点1异面直线所成的角;;【对点训练1】（2024·辽宁丹东一模）在直三棱柱ABC--A1B1C1中，AB＝AC＝AA1，∠BAC＝120°，则异面直线BA1与AC1所成角的余弦值为()

;解析：取BC的中点D，连接AD，因为AB＝AC，所以DA⊥DC，以D为原点，DA，DC所在直线分别为x轴、y轴，过点D且垂直于平面BAC的直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系．

;考点2直线与平面所成的角;∴GE∥BC且GE＝BC，

∴四边形BCEG为平行四边形，∴CE∥GB.

又GB?平面PAB，CE?平面PAB，

∴CE∥平面PAB.

;(2)求直线PB与平面PCD所成角的正弦值．

;;【对点训练2】（2024·山东聊城二模）如图，在几何体ABCC1B1A1中，四边形BCC1B1是边长为2的正方形，AA1∥BB1，AA1＝3，点E在线段A1C1上，且EC1＝2A1E.

(1)求证：B1E∥平面ABC1；

;因为ME?平面ABC1，AC1?平面ABC1，所以ME∥平面ABC1.

由A1A＝3，得MA＝2，又B1B＝2，且AA1∥BB1，所以四边形ABB1M为平行四边形，所以B1M∥AB.

因为B1M?平面ABC1，AB?平面ABC1，所以B1M∥平面ABC1.

又B1M∩ME＝M，B1M?平面B1ME，ME?平面B1ME，所以平面B1ME∥平面ABC1.又因为B1E?平面B1ME，所以B1E∥平面ABC1.

;(2)若AB⊥平面BCC1B1，且AB＝2，求直线A1C1与平面AB1E所成角的正弦值．

;解：因为AB⊥平面BCC1B，BB1，BC?平面BCC1B1，所以AB⊥BB1，AB⊥BC，又四边形BCC1B1是正方形，所以BB1⊥BC，

所以BC，BA，BB1两两互相垂直．

所以以B为原点，以BC，BA，BB1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，

由AB＝BC＝2，AA1＝3，得A(0，2，0)，A1(0，2，3)，B1(0，0，2)，C1(2，0，2)，

;考点3平面与平面的夹角;【解】证明：因为PA⊥平面ABCD，AD?平面ABCD，所以PA⊥AD.又AD⊥PB，PB∩PA＝P，PB，PA?平面PAB，所以AD⊥平面PAB，

又AB?平面PAB，所以AD⊥AB.

在△ABC中，AB2＋BC2＝AC2，

所以AB⊥BC，

因为A，B，C，D四点共面，所以AD∥BC.

又BC?平面PBC，AD?平面PBC，

所以AD∥平面PBC.

;;(1)求证：EF⊥PD；

;(2)求面PCD与面PBF所成的二面角的正弦值.

;考点4求空间距离;;D;(2)如图，正四棱柱ABCD--A1B1C1D1中，AA1＝2AB＝2，E，F分别是线段AC1，BD上的动点，则E，F间的最小距离为()

;;(1)若α为Ω的1阶等距平面且1阶等距集为{a}，求a的所有可能值以及相应的α的个数；

;由于正四面体有4个面，这样的1阶等距平面α平行于其中一个面，有4种情况．;(2)已知β为Ω的4阶等距平面，且点A与点B，C，D分别位于β的两侧，若Ω的4阶等距集为{b，2b，3b，4b}，其中点A到β的距离为b，求平面BCD与β夹角的余弦值．;;1．（15分）如图，四棱锥P--ABCD的底面是边长为2的菱形，∠DAB＝60°，对角线AC与BD相交于点O，PO⊥底面ABCD，PB与底面ABCD所成的角为60°，E是PB的中点．

(1)求证：OE∥平面PAD；;解：证明：因为四边形ABCD为菱形，对角线AC与BD相交于点O，所以O为BD的中点．

又E是PB的中点，则EO∥PD，且EO?平面PAD