2026版创新设计高考总复习数学（人教B版）-对点练53 数列中的融合创新问题.docxVIP

对点练53数列中的融合创新问题

(分值：60分)

1.(13分)(2025·重庆模拟)已知实数q≠0，定义数列{an}如下：如果n＝x0＋2x1＋22x2＋…＋2kxk，xi∈{0，1}，i＝0，1，2，…，k，则an＝x0＋x1q＋x2q2＋…＋xkqk.

(1)求a7和a8(用q表示)；

(2)令bn＝a2n－1，证明：eq\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))bi＝a2n－1；

(3)若1q2，证明：对于任意正整数n，存在正整数m，使得anam≤an＋1.

2.(15分)(2025·武汉质检)定义1进位制：进位制是人们为了计数和运算方便而约定的记数系统，约定满二进一，就是二进制；满十进一，就是十进制；满十二进一，就是十二进制；满六十进一，就是六十进制；等等.也就是说，“满几进一”就是几进制，几进制的基数就是几，一般地，若k是一个大于1的整数，那么以k为基数的k进制数可以表示为一串数字符号连写在一起的形式anan－1…a1a0(k)(an，an－1，…，a1，a0∈N，0ank，0≤an－1，…，a1，a0k).k进制的数也可以表示成不同位上数字符号与基数的幂的乘积之和的形式.如7342(8)＝7×83＋3×82＋4×81＋2×80.

定义2三角形数：形如1＋2＋3＋…＋m，即eq\f(1,2)m·(m＋1)(m∈N*)的数叫做三角形数.

(1)若aa…a(9)n个a

(2)若11111(k)是完全平方数,求k的值;

(3)已知cn=11…1(9)n个1,设数列{cn}的前n项和为Sn,证明:当n3时,

3.(15分)(2024·北京海淀区模拟)约数，又称因数.它的定义如下：若整数a除以整数m(m≠0)除得的商正好是整数而没有余数，我们就称a为m的倍数，称m为a的约数.设正整数a共有k个正约数，即为a1，a2，…，ak－1，ak(a1a2…ak).

(1)当k＝4时，若正整数a的k个正约数构成等比数列，请写出一个a的值；

(2)当k≥4时，若a2－a1，a3－a2，…，ak－ak－1构成等比数列，求正整数a；

(3)记A＝a1a2＋a2a3＋…＋ak－1ak，求证：Aa2.

4.(17分)(2024·南通调研)设有穷数列{an}的项数为m(m≥2)，若正整数k(2≤k≤m)满足?nk，anak则称k为数列{an}的“min点”.

(1)若an＝(－1)n(2n－3)(1≤n≤5)，求数列{an}的“min点”；

(2)已知有穷等比数列{an}的公比为2，前n项和为Sn，若数列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(Sn＋\f(1,Sn)))存在“min点”，求正数a1的取值范围；

(3)若an≥an－1－1(2≤n≤m)，数列{an}的“min点”的个数为p，证明：a1－am≤p.