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湖南省常德市汉寿县第一中学2024-2025学年高二下学期期末考试数学试题

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．已知集合，，则（????）

A． B． C． D．

2．下列说法不正确的是（????）．

A．一组数据10，11，11，12，13，14，16，18，20，22的第60百分位数为14

B．若随机变量服从正态分布，且，则

C．若线性相关系数越接近1，则两个变量的线性相关程度越高

D．对具有线性相关关系的变量、，且回归方程为，若样本点的中心为，则实数的值是

3．已知，则（????）

A． B． C． D．

4．已知圆与圆，则圆与圆的位置关系是（????）

A．相交 B．外离 C．外切 D．内含

5．已知平面及直线，，则下列说法错误的个数是（????）．

①若直线，与平面所成角都是，则这两条直线平行；②若直线，与平面所成角都是，则这两条直线不可能垂直；③若直线，垂直，则这两条直线与平面不可能都垂直；④若直线，平行，则这两条直线中至少有一条与平面平行．

A．1 B．2 C．3 D．4

6．根据马伯庸的小说《长安十二时辰》同名改编的电视剧中，靖安司通过长安城内的望楼传递信息.望楼传递信息的方式如下：如图所示，在九宫格中，每个小方格可以在白色和紫色（此处以阴影代表紫色）之间变换，从而一共可以有512种不同的颜色组合，即代表512种不同的信息.现要求最多出现2个紫色格子，那么一共可以传递的不同的信息有（????）

A．36种 B．45种 C．46种 D．84种

7．已知从椭圆：的一个焦点发出的光线，经椭圆反射后，反射光线交C的另一个焦点，A，B为椭圆的长轴端点，C，D为椭圆的短轴端点，E，F分别为椭圆的左右焦点，动点P满足，若的面积的最大值为，则面积的最小值为（????）

A． B． C．1 D．

8．已知函数，将图象向右平移个单位长度得到函数的图象，若对任意，都有成立，则的值为

A． B．1 C． D．2

二、多选题

9．设复数（a，）（为虚数单位），则下列说法正确的是（????）

A．“”的充要条件是“”

B．若，则的虚部为2

C．若，，则

D．方程在复数集中有6个解

10．下列四个结论中，正确的结论为（????）

A．函数与函数相等

B．若函数且的图象没有经过第二象限，则

C．当时，关于的不等式恒成立，则实数的取值范围为

D．若函数的最大值为，最小值为，则

11．非零实数不全相等．下列说法正确的是（????）

A．若成等差数列，则，，可以构成等差数列

B．若成等比数列，则，，必定构成等比数列

C．若，，则

D．若，且，则

三、填空题

12．若求．

13．已知双曲线的一条渐近线方程为分别是双曲线的左、右焦点，点在双曲线上，且，则．

14．若函数，且的图象与直线没有交点，则的取值范围是.

四、解答题

15．已知公差不等于零的等差数列的前项和为，且满足，，，成等比数列.

（1）求数列的通项公式；

（2）求数列的前项和.

16．如图，在四棱锥中，平面.

(1)求证：平面平面；

(2)若，求直线与平面所成角的正弦值.

17．已知函数．

(1)讨论函数在区间上的单调性；

(2)当时，证明：．

18．我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》卷五“田域类”有一个题目：“问沙田一段，有三斜，其小斜一十三里，中斜一十四里，大斜一十五里，里法三百步.欲知为田几何？”其求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上.以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实；一为从隅，开平方得积.”这就是秦九韶推出的“三斜求积”公式.若的内角的对应边分别为，面积为，则“三斜求积”公式为

(1)用“三斜求积”公式证明；

(2)若，且，求面积的最大值；

(3)定义：四面体中，若异面棱长相等的四面体为等腰四面体.设等腰四面体的外接球表面积为的外接圆面积为.已知，且，，试用表示，并求的取值范围.

19．新能源汽车的春天来了！2018年3月5日上午，李克强总理做政府工作报告时表示，将新能源汽车车辆购置税优惠政策再延长三年，自2018年1月1日至2020年12月31日，对购置的新能源汽车免征车辆购置税.某人计划于2018年5月购买一辆某品牌新能源汽车，他从当地该品牌销售网站了解了近五个月的实际销量如下表：

月份

2017.12

2018.01

2018.02

2018.03

2018.04

月份编号

1

2

3

4

5

销量（万量）

0.5

0.6

1

1.4

1.7