2026版创新设计高考总复习数学（人教B版）-第8节　数列中的融合创新问题.docxVIP

第8节数列中的融合创新问题

题型分析数列的融合创新问题往往以压轴题的位置出现于高考题中，以新定义、新性质和新构造的形式出现，有时与函数、不等式、集合等交汇命题，难度较大.

题型一定义新数列

例1(2025·温州适应性考试)数列{an}，{bn}满足：{bn}是等比数列，b1＝2，a2＝5，且a1b1＋a2b2＋…＋anbn＝2(an－3)bn＋8(n∈N*).

(1)求{an}，{bn}的通项公式；

(2)求集合A＝{x|(x－ai)(x－bi)＝0，i≤2n，i∈N*}中所有元素的和；

(3)对数列{cn}，若存在互不相等的正整数k1，k2，…，kj(j≥2)，使得ck1＋ck2＋…＋ckj也是数列{cn}中的项，则称数列{cn}是“和稳定数列”.试分别判断数列{an}，{bn}是不是“和稳定数列”.若是，求出所有j的值；若不是，说明理由.

训练1(2025·东北师大附中模拟)对于数列{an}，称{Δan}为数列{an}的一阶差分数列，其中Δan＝an＋1－an(n∈N*).对正整数k(k≥2)，称{Δkan}为数列{an}的k阶差分数列，其中Δkan＝Δ(Δk－1an)＝Δk－1an＋1－Δk－1an.已知数列{an}的首项a1＝1，且

{Δan＋1－an－2n}为{an}的二阶差分数列.

(1)求数列{an}的通项公式；

(2)设bn＝eq\f(1,2)(n2－n＋2)，{xn}为数列{bn}的一阶差分数列，?n∈N*，是否都有eq\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))xiCeq\o\al(i,n)＝an成立？并说明理由；(其中Ceq\o\al(i,n)为组合数)

(3)对于(2)中的数列{xn}，令yn＝txn+t-xn2，其中eq\f(1,2)t2.证明：eq\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))yi2n－2－eq\f(n,2).

题型二定义数列的新性质

例2(2025·郑州调研)已知数列{an}为有穷数列，且an∈N*，若数列{an}满足如下两个性质，则称数列{an}为m的k增数列：

①a1＋a2＋a3＋…＋an＝m；

②对于1≤ij≤n，使得aiaj的正整数对(i，j)有k个.

(1)写出所有4的1增数列；

(2)当n＝5时，若存在m的6增数列，求m的最小值；

(3)若存在100的k增数列，求k的最大值.