2026版创新设计高考总复习数学（人教B版）-第9节　爪形三角形中特殊线的计算.docxVIP

第9节爪形三角形中特殊线的计算

题型分析“爪形”三角形是指在给定的一个三角形中，连接一个顶点和对边上的任意一点构成的图形，一般涉及三角形的高线、中线、角平分线的计算.通常可以采用“邻补角策略”、“算两次”策略等利用正弦定理、余弦定理列方程求解.

题型一三角形的高线

例1(2023·新高考Ⅰ卷)已知在△ABC中，A＋B＝3C，2sin(A－C)＝sinB.

(1)求sinA；

(2)设AB＝5，求AB边上的高.

思维建模1.设h1，h2，h3为△ABC的边a，b，c上的高，则h1∶h2∶h3＝eq\f(1,a)∶eq\f(1,b)∶eq\f(1,c)＝eq\f(1,sinA)∶eq\f(1,sinB)∶eq\f(1,sinC).

2.求高一般采用等面积法，即求某边上的高，需要求出面积和底边的长度.

高线的两个作用：(1)产生直角三角形；(2)与三角形的面积相关.

训练1设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且cosC＝eq\f(a－csinB,b).

(1)求角B的大小；

(2)若边AB上的高为eq\f(c,4)，求cosC的值.

题型二三角形的中线

例2记△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知bsinC＝sinC＋

eq\r(3)cosC，A＝eq\f(π,3).

(1)求c.

(2)在下列三个条件中选择一个作为补充条件，判断△ABC是否存在？若存在，求出△ABC的面积；若不存在，说明理由.

①BC边上的中线长为eq\f(\r(2),2)，②AB边上的中线长为eq\r(7).

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.

思维建模如图，在△ABC中，AD为BC的中线.

(1)余弦定理法

在△ABD中，AB2＝AD2＋BD2－2BD·ADcos∠ADB，①

在△ACD中，

AC2＝AD2＋DC2－2AD·DCcos∠ADC，②

①＋②得到AB2＋AC2＝2(BD2＋AD2).

(2)向量法

由于eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)))，所以eq\o(AD,\s\up6(→))2＝eq\f(1,4)(b2＋c2＋2bccos∠BAC)

(3)倍长中线法

借助平行四边形性质：平行四边形对角线的平方和等于四边形的平方和.

易得2(AC2＋AB2)＝BC2＋(2AD)2

(4)中线公式

在△ABC中，BC边上的中线和三边有如下关系(可以用上面三种方法推导)AD＝eq\f(\r(2（b2＋c2）－a2),2)

当然除了上述常用的方法以外，还有坐标法等技巧.

训练2(2025·福建九地市质检)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且asinC＝csinB，C＝eq\f(2π,3).

(1)求B的