2026版创新设计高考总复习数学（人教B版）-第9节　直线与圆锥曲线.docxVIP

第9节直线与圆锥曲线

课标要求1.理解直线与圆锥曲线位置关系的判断方法.2.掌握直线被圆锥曲线所截的弦长公式.3.掌握直线与圆锥曲线相交的综合问题.

【知识梳理】

1.直线与圆锥曲线的位置关系

(1)直线与圆锥曲线的位置关系有________、________、________；相交有两个交点(特殊情况除外)，相切有一个交点，相离无交点.

(2)判断直线l与圆锥曲线C的位置关系时，通常将直线l的方程Ax＋By＋C＝0代入圆锥曲线C的方程.消去y(或x)得到一个关于变量x(或y)的方程ax2＋bx＋c＝0(或ay2＋by＋c＝0).

①当a≠0时，可考虑一元二次方程的判别式Δ，有Δ＞0时，直线l与曲线C________；Δ＝0时，直线l与曲线C________；Δ＜0时，直线l与曲线C________.

②当a＝0时，即得到一个一次方程，则l与C相交，且只有一个交点，此时，若C为双曲线，则直线l与双曲线的________平行；若C为抛物线，则直线l与抛物线的________平行或重合.

2.圆锥曲线的弦长公式

设直线与圆锥曲线的交点坐标为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则

|AB|＝_______________________________________________＝

__________________或|AB|＝________________________________

＝________________________，k为直线斜率且k≠0.

3.中点弦问题常用“根与系数的关系”或“点差法”求解.

(1)利用根与系数的关系：将直线方程代入椭圆的方程，消元后得到一个一元二次方程，利用根与系数的关系和中点坐标公式建立等式求解，注意不能忽视对判别式的讨论.

(2)点差法：若直线l与椭圆C有两个交点A，B，一般地，首先设出A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB中点M(x0，y0)，直线AB的斜率k，将点A，B代入圆锥曲线的方程，两式相减，整理得(分别以eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1，eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1，y2＝2px为例)，椭圆中k＝－eq\f(b2,a2)·eq\f(x0,y0)；双曲线中k＝______________；抛物线中k＝____________.

【诊断自测】概念思考辨析＋教材经典改编

1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)

(1)直线与圆锥曲线的三种位置关系：相离、相切、相交.()

(2)直线y＝x与椭圆eq\f(x2,2)＋y2＝1一定相交.()

(3)“直线l与双曲线C相切”的充要条件是“直线l与双曲线C只有一个公共点”.()

(4)若直线与抛物线只有一个交点，则直线与抛物线一定相切.()

2.(北师大选修一P83T1原题)方程y(y－x)＝2所表示的曲线()

A.关于y轴对称

B.关于直线x＋y＝0对称

C.关于原点对称

D.关于直线x－y＝0对称

3.(苏教选修一P124T10改编)直线y＝kx＋2与椭圆eq\f(x2,3)＋eq\f(y2,2)＝1有且只有一个交点，则k的值是()

A.eq\f(\r(6),3) B.－eq\f(\r(6),3)

C.±eq\f(\r(6),3) D.±eq\f(\r(3),3)

4.(人教A选修一P114T2改编)经过椭圆eq\f(x2,2)＋y2＝1的左焦点F1作倾斜角为60°的直线l，直线l与椭圆相交于A，B两点，则线段AB的长为________.

考点一直线与圆锥曲线的位置关系

例1已知直线l：y＝2x＋m，椭圆C：eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,2)＝1.试问当m取何值时，直线l与椭圆C：

(1)有两个不同的公共点；

(2)有且只有一个公共点；

(3)没有公共点.

思维建模1.在判断直线和圆锥曲线的位置关系时，先联立方程组，再消去x(或y)，得到关于y(或x)的方程，如果是直线与圆或椭圆，则所得方程一定为一元二次方程；如果是直线与双曲线或抛物线，则需讨论二次项系数等于零和不等于零两种情况，只有二次方程才有判别式，另外还应注意斜率不存在的情形.

2.双曲线中与渐近线平行的直