2026版创新设计高考总复习数学（人教B版）-第6节　事件的相互独立性、条件概率与全概率公式.docxVIP

第6节事件的相互独立性、条件概率

与全概率公式

课标要求1.了解两个事件相互独立的含义.2.理解随机事件的独立性和条件概率的关系，会利用全概率公式计算概率.

【知识梳理】

1.事件的相互独立

(1)概念：对任意两个事件A与B，如果P(AB)＝________，则称事件A与事件B相互独立，简称为独立.

(2)性质：若事件A与B相互独立，那么A与________，eq\o(A,\s\up6(－))与________，eq\o(A,\s\up6(－))与eq\o(B,\s\up6(－))也都相互独立.

2.条件概率

(1)概念:当事件B发生的概率大于0(即P(B)0)时,已知事件B发生的条件下事件A发生的概率,称为条件概率,记作P(A|B),而且P(A|B)=_________.

(2)概率的乘法公式:对任意两个事件A与B,若P(A)0,则P(AB)=____________.

3.全概率公式

一般地,如果样本空间为Ω,A,B为事件,则BA与BA是互斥的,且B=BΩ=B(A+A)=BA+BA,从而P(B)=P(BA+BA)=P(BA)+P(BA),当P(A)0且P(A)0时,有P(B)=____________________________.

[常用结论与微点提醒]

1.计算条件概率除了应用公式P(B|A)=P(AB)P(A)外,还可以利用缩减公式法,即P(B|A)=n(AB)n(A),其中n(

2.条件概率的性质:设P(A)0,则

①P(Ω|A)=1;

②如果B与C是两个互斥事件,则P(B∪C|A)=P(B|A)+P(C|A);

③设B和B互为对立事件,则P(B|A)=1-P(B|A).

3.一般地,设A1,A2,…,An是一组两两互斥的事件,A1∪A2∪…∪An=Ω,且P(Ai)0,i=1,2,…,n,则对任意的事件B?Ω,BΩ=B(A1+A2+…+An)=BA1+BA2+…+BAn,有P(B)=n∑i=1P(Ai)P(B|Ai

【诊断自测】概念思考辨析＋教材经典改编

1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)

(1)若事件A，B互斥，则P(B|A)＝1.()

(2)三个事件A，B，C两两独立，P(ABC)≠P(A)P(B)P(C).()

(3)P(A)＝P(A)P(B|A)＋P(eq\o(A,\s\up6(－)))P(B|eq\o(A,\s\up6(－))).()

(4)P(A)＝P(BA)＋P(Beq\o(A,\s\up6(－))).()

2.(苏教选修二P143T1原题)甲、乙两人射击，中靶的概率分别为0.8，0.7.若两人同时独立射击，则他们都击中靶的概率是()

A.0.56 B.0.48

C.0.75 D.0.6

3.(人教B选修二P47练习AT4改编)已知一种节能灯能使用寿命超过10000h的概率为0.95，而使用寿命超过12000h的概率为0.9，则已经使用了10000h的这种节能灯，使用寿命能超过12000h的概率为________.

4.(人教A选修三P50例4改编)某学校有A，B两家餐厅，王同学第1天午餐时随机地选择一家餐厅用餐.如果第1天去A餐厅，那么第2天去A餐厅的概率为0.6；如果第1天去B餐厅，那么第二天去A餐厅的概率为0.8.则王同学第2天去A餐厅用餐的概率为________.

考点一相互独立事件的判断及概率

例1(1)(2021·新高考Ⅰ卷)有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回地随机取两次，每次取1个球.甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，则()

A.甲与丙相互独立 B.甲与丁相互独立

C.乙与丙相互独立 D.丙与丁相互独立

(2)(2025·杭州质检)投壶是从先秦延续至清末的中国传统礼仪和宴饮游戏.晋代在广泛开展投壶活动中，对投壶的壶也有所改进，即在壶口两旁增添两耳，因此在投壶的花式上就多了许多名目，如“贯耳(投入壶耳)”.每一局投壶，每一位参赛者各有四支箭，投入壶口一次得1分，投入壶耳一次得2分.现有甲、乙两人进行投壶比赛(两人投中壶口、壶耳是相互独立的)，甲四支箭已投完，共得3分，乙投完2支箭，目前只得1分，乙投中壶口的概率为eq\f(1,3)，投中壶耳的概率为eq\f(1,5).四支箭投完，以得分多者赢.则乙赢得这局比赛的概率为______.