线性代数矩阵的初等变换与矩阵的秩.pptVIP

第1页，共28页，星期日，2025年，2月5日定义2.16下列三种变换称为矩阵的初等行变换此时变换的是第i行,第j行没有变化!同理可定义矩阵的初等列变换(把“r”换成“c”)．2.4.1矩阵的初等变换第2页，共28页，星期日，2025年，2月5日矩阵的初等变换通常称(1)换法变换(2)倍法变换(3)消法变换初等变换的逆变换仍为初等变换,且变换类型相同．逆变换逆变换逆变换第3页，共28页，星期日，2025年，2月5日三种初等变换对应着三种初等方阵.矩阵初等变换是矩阵的一种基本运算，应用广泛.2.4.2初等矩阵由单位矩阵I经过一次初等变换得到的方阵称为初等矩阵.定义2.17第4页，共28页，星期日，2025年，2月5日(1)交换I的两行或两列，得初等对换矩阵。第5页，共28页，星期日，2025年，2月5日(2)以数乘I某行或某列，得初等倍乘矩阵。第6页，共28页，星期日，2025年，2月5日(3)以数乘某行（列）加到另一行（列）上，得初等倍加矩阵。第7页，共28页，星期日，2025年，2月5日初等矩阵是可逆的，逆矩阵仍为初等矩阵。第8页，共28页，星期日，2025年，2月5日定理2.3证明：具体验证即可第9页，共28页，星期日，2025年，2月5日另两种情形同理可证第10页，共28页，星期日，2025年，2月5日一般记法：第11页，共28页，星期日，2025年，2月5日2、行阶梯形矩阵、行最简矩阵、标准形定义2满足下列两个条件的形如阶梯的矩阵：（1）若有零行，则该行下方所有行元素均为零；(2)如果某一行元素不全为零，并且第一个不为零的元素位于第i列，则它下方的所有行（若存在）的前i个元素全为零。第12页，共28页，星期日，2025年，2月5日定义行最简矩阵是指在阶梯形中(1)非零行第一个非零元素为1，(2)每一行第一个非零元素1所在的列中其它元素都为零，即：第13页，共28页，星期日，2025年，2月5日定理2.4对任何矩阵Am?n，总可以经过有限次初等行变换，把它化为行阶梯形矩阵，行最简矩阵。第14页，共28页，星期日，2025年，2月5日定理2.5任何一个矩阵A都与一个形式为的矩阵等价。（r≤min(m,n),D称为矩阵A的标准形。第15页，共28页，星期日，2025年，2月5日2.4.3初等变换求逆矩阵为了得到利用初等变换求矩阵的逆的方法，我们首先需要建立如下的定理。定理2.6n阶矩阵A可逆的充要条件是A的标准形是In.第16页，共28页，星期日，2025年，2月5日由，就有上面第一式表示经有限个初等行变换化为单位矩阵，第二式表示经这些初等行变换变为.用分块矩阵形式把上两式写成或由定理2.6知道若A可逆，则A-1可表为有限个初等矩阵的乘积，即第17页，共28页，星期日，2025年，2月5日即初等行变换这表明如果对矩阵(A,B)施行初等行变换，当把A化为In时，B就化为A-1B．第18页，共28页，星期日，2025年，2月5日例10求矩阵X，使AX=B，其中解如果A可逆，那么X=A-1B．，第19页，共28页，星期日，2025年，2月5日所以第20页，共28页，星期日，2025年，2月5日