1.2 1.2.3 第1课时 充分条件、必要条件.DOCXVIP

数学必修第一册RJB

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1.2.3充分条件、必要条件

第1课时充分条件、必要条件

(教师独具内容)

课程标准：1.通过对典型数学命题的梳理，理解充分条件的意义，理解判定定理与充分条件的关系.2.通过对典型数学命题的梳理，理解必要条件的意义，理解性质定理与必要条件的关系．

教学重点：1.理解充分条件与必要条件的意义.2.会判断条件与结论之间的充分性或必要性．

教学难点：判断条件与结论之间的充分性或必要性．

核心素养：1.通过对充分条件、必要条件概念的学习培养数学抽象素养.2.通过对充分条件、必要条件的判断培养逻辑推理素养．

知识点一命题的结构

在“如果p，那么q”形式的命题中，p称为命题的条件，q称为命题的结论．若“如果p，那么q”是一个真命题，则称由eq\x(\s\up1(01))p可以推出eq\x(\s\up1(02))q，记作eq\x(\s\up1(03))p?q，读作“p推出q”；否则，称由p推不出q，记作eq\x(\s\up1(04))pq，读作“p推不出q”．

知识点二充分条件、必要条件

(1)当p?q时，我们称p是q的eq\x(\s\up1(01))充分条件，q是p的eq\x(\s\up1(02))必要条件；当pq时，我们称p不是q的充分条件，q不是p的必要条件．

[拓展]对于“p?q”有以下几种解释：

①“若p，则q”形式的命题为真命题．

②由条件p可以得到结论q.

③只要有条件p，就一定有结论q.

④q是p的必要条件或p的必要条件是q.

⑤为得到结论q，具备条件p就可以推出．

⑥一旦q不成立，p一定也不成立．

⑦q对于p的成立是必要的．

(2)充分条件与必要条件也可用集合的知识来理解．

一般地，如果A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，且A?B(如图所示)，那么eq\x(\s\up1(03))p(x)?q(x)，因此也就有eq\x(\s\up1(04))p(x)是eq\x(\s\up1(05))q(x)的充分条件，eq\x(\s\up1(06))q(x)是eq\x(\s\up1(07))p(x)的必要条件．

[注意](1)充分条件不是唯一的，如x2，x3等都是x0的充分条件．

(2)必要条件也不是唯一的，如x0，x5等都是x9的必要条件．

知识点三充分条件、必要条件与判定定理、性质定理的关系

(1)eq\x(\s\up1(01))判定定理给出了相应数学结论成立的一个充分条件．

(2)eq\x(\s\up1(02))性质定理给出了相应数学结论成立的一个必要条件．

1．(命题的结构)将命题“平行四边形的对角线互相平分”改写成“若p，则q”的形式为________________．

答案：若一个四边形为平行四边形，则这个四边形的对角线互相平分

2．(充分条件)a，b都是偶数________a＋b是偶数(填?或)．

答案：?

3．(必要条件)“ab0”是“a0，b0”的________条件．

答案：必要

题型一命题的结构形式

把下列命题改写成“若p，则q”的形式，并判断由p是否可以推出q.

(1)实数的平方是非负数；

(2)等底等高的两个三角形是全等三角形；

(3)当m2＝n2时，m＝n；

(4)线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等．

[解](1)若一个数是实数，则它的平方是非负数，是真命题．故由该命题的条件可以推出该命题的结论．

(2)若两个三角形等底等高，则这两个三角形是全等三角形，是假命题．故由该命题的条件不能推出该命题的结论．

(3)若m2＝n2，则m＝n，是假命题．故由该命题的条件不能推出该命题的结论．

(4)若一个点在一条线段的垂直平分线上，则该点与这条线段两个端点的距离相等，是真命题．故由该命题的条件可以推出该命题的结论．

[条件探究]如果把本例(3)中的“m2＝n2”改为“m3＝n3”，怎样解答呢？

解：若m3＝n3，则m＝n，是真命题．故由该命题的条件可以推出该命题的结论．

【感悟提升】

1．命题改写的相关策略

(1)对命题改写时，一定要找准命题的条件和结论，有些命题的形式比较简洁，条件和结论不明显，写命题的条件和结论时需要适当加以补充，例如命题“对顶角相等”的条件应写成“若两个角是对顶角”，结论为“这两个角相等”．

(2)在对命题改写时，要注意所叙述的条件和结论的完整性，有些命题中，还要注意大前提的写法．例如“在同一平面内，若两条直线都垂直于同一条直线，则这两条直线平行”中，大前提“在同一平面内”是必不可少的．

2．判断命题真假的方法

(1)反例法：通过构造反例否定一个命题，是判定一个命题为假命题的常用方法．

(2)直推法：由条件出发，运用相关的定义、性质、定理等，通过逻辑推理来推断命题的真假性，是判定