3.1 3.1.3 第1课时 函数的奇偶性.DOCXVIP

数学必修第一册RJB

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3.1.3函数的奇偶性

第1课时函数的奇偶性

(教师独具内容)

课程标准：结合具体函数，了解奇偶性的概念和几何意义．

教学重点：1.函数奇偶性的概念.2.判断函数奇偶性的方法．

教学难点：函数奇偶性的判断．

核心素养：1.通过学习函数奇偶性的概念及其图象特征培养数学抽象素养和直观想象素养.2.通过判断函数的奇偶性培养逻辑推理素养．

知识点一函数奇偶性的概念

(1)偶函数：一般地，设函数y＝f(x)的定义域为D，如果对D内的任意一个x，都有eq\x(\s\up1(01))－x∈D，且eq\x(\s\up1(02))f(－x)＝f(x)，则称y＝f(x)为偶函数．

(2)奇函数：一般地，设函数y＝f(x)的定义域为D，如果对D内的任意一个x，都有eq\x(\s\up1(03))－x∈D，且eq\x(\s\up1(04))f(－x)＝－f(x)，则称y＝f(x)为奇函数．

[注意]函数的单调性是函数的“局部”性质，而奇偶性是函数的“整体”性质，只有对其定义域内的每一个x，都有f(－x)＝－f(x)(或f(－x)＝f(x))，才能说函数f(x)是奇(或偶)函数．

知识点二奇偶函数的图象特征

(1)偶函数的图象关于eq\x(\s\up1(01))y轴对称；反之，图象关于eq\x(\s\up1(02))y轴对称的函数一定是偶函数．

(2)奇函数的图象关于eq\x(\s\up1(03))原点对称；反之，图象关于eq\x(\s\up1(04))原点对称的函数一定是奇函数．

[提醒](1)函数y＝f(x)是奇函数或偶函数的一个必不可少的条件：定义域关于原点对称，换言之，若所给函数的定义域不关于原点对称，则这个函数一定不具有奇偶性．例如，函数y＝x2在区间(－∞，＋∞)上是偶函数，但在区间[－1，2]上却无奇偶性可言．

(2)若奇函数在原点处有定义，则必有f(0)＝0.

(3)若f(－x)＝－f(x)，且f(－x)＝f(x)，则f(x)既是奇函数又是偶函数，既奇又偶的函数有且只有一类，即f(x)＝0，x∈D，D是关于原点对称的非空实数集．

1．(奇函数的性质)若函数f(x)是定义在R上的奇函数，则f(0)＝()

A．－1 B．0

C．1 D．2

答案：B

2．(偶函数的性质)已知函数f(x)是定义域为R的偶函数，若f(2)＝4，则f(－2)＝()

A．－2 B．2

C．－4 D．4

答案：D

3．(函数奇偶性的判断)函数f(x)＝x在定义域R上是________函数(填“奇”或“偶”)．

答案：奇

4．(奇偶函数的图象特征)下列图象表示的函数是奇函数的是________，是偶函数的是________(填序号)．

答案：②④①③

题型一函数奇偶性的判断

角度具体函数奇偶性的判断

判断下列函数的奇偶性：

(1)f(x)＝x3＋eq\f(1,x)；

(2)f(x)＝eq\r(x2－1)＋eq\r(1－x2)；

(3)f(x)＝2－|x|；

(4)f(x)＝eq\r(x)；

(5)f(x)＝x3＋x2；

(6)f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1－x2，x0，,0，x＝0，,x2－1，x0.))

[解](1)因为f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称，且f(－x)＝(－x)3＋eq\f(1,－x)＝－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x3＋\f(1,x)))＝－f(x)，所以f(x)为奇函数．

(2)因为f(x)的定义域为{－1，1}，是两个具体数，但它关于原点对称，又f(－1)＝f(1)＝0，f(－1)＝－f(1)＝0，所以f(x)＝eq\r(x2－1)＋eq\r(1－x2)既是奇函数，又是偶函数．

(3)因为f(x)的定义域是R，关于原点对称，且f(－x)＝2－|－x|＝2－|x|＝f(x)，所以f(x)是偶函数．

(4)因为f(x)＝eq\r(x)的定义域是{x|x≥0}，它不关于原点对称，所以f(x)是非奇非偶函数．

(5)因为f(x)＝x3＋x2的定义域是R，关于原点对称，f(－x)＝－x3＋x2，所以f(－x)≠－f(x)，f(－x)≠f(x)，所以f(x)是非奇非偶函数．

(6)解法一：作出函数f(x)的图象如图所示，

因为函数f(x)的图象关于原点对称，所以函数是奇函数．

解法二：当x0时，f(x)＝1－x2，此时－x0，所以f(－x)＝(－x)2－1＝x2－1，所以f(－x)＝－f(x)；

当x0时，f(x)＝x2－1，此时－x0，f(－x)＝1－(－x)2＝1－x2，

所以f(－x)＝－f(x)；

当x＝0时，f(－0)＝－f