1.2 1.2.2 全称量词命题与存在量词命题的否定.DOCXVIP

数学必修第一册RJB

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1.2.2全称量词命题与存在量词命题的否定

(教师独具内容)

课程标准：1.能正确使用存在量词对全称量词命题进行否定.2.能正确使用全称量词对存在量词命题进行否定．

教学重点：写出含有量词的命题的否定，并判断其真假．

教学难点：全称量词命题的否定与存在量词命题的否定及它们真假的判断．

核心素养：通过学习全称量词命题的否定和存在量词命题的否定培养数学抽象素养和逻辑推理素养．

知识点一命题的否定

一般地，对命题p加以否定，就得到一个新的命题，记作“eq\x(\s\up1(01))綈p”，读作“eq\x(\s\up1(02))非p”或“eq\x(\s\up1(03))p的否定”．

如果一个命题是真命题，那么这个命题的否定就是一个eq\x(\s\up1(04))假命题；反之亦然．

知识点二存在量词命题的否定

一般地，存在量词命题“?x∈M，p(x)”的否定是eq\x(\s\up1(01))全称量词命题“eq\x(\s\up1(02))?x∈M，綈p(x)”．

知识点三全称量词命题的否定

一般地，全称量词命题“?x∈M，q(x)”的否定是eq\x(\s\up1(01))存在量词命题“eq\x(\s\up1(02))?x∈M，綈q(x)”．

[说明](1)全称量词命题的否定是一个存在量词命题，给出全称量词命题的否定时既要改变全称量词，又要否定结论，所以找出全称量词，明确命题所提供的结论是对全称量词命题否定的关键．

(2)对于省去了全称量词的全称量词命题的否定，一般先改写为含有全称量词的命题，再写出命题的否定．

1．(存在量词命题的否定)“至多有一个”的否定为________．

答案：至少有两个

2．(全称量词命题的否定)已知命题p：?x∈[2，＋∞)，x2≥4，则它的否定是__________________．

答案：?x∈[2，＋∞)，x24

3．(命题否定后的真假判断)命题“?x∈Q，x2＝5”的否定是________命题．(填“真”或“假”)

答案：真

题型一命题的否定

(1)若命题p：函数y＝1－x2的图象过点(－3，2)，则p与綈p的真假情况是()

A．都是真命题 B．都是假命题

C．p真，綈p假 D．p假，綈p真

[解析]∵p与綈p必一真一假，而本题中p显然是假命题，∴綈p必为真命题．

[答案]D

(2)写出下列命题的否定：

①8的立方根是2；

②若m2＋n2＝0，则实数m，n全为零；

③若xy＝0，则x与y中至少有一个为0.

[解]①8的立方根不是2.

②若m2＋n2＝0，则实数m，n不全为零．

③若xy＝0，则x与y均不为0.

【感悟提升】綈p是对命题p的全盘否定，对一些词语的正确否定是写綈p的关键，如“都”的否定是“不都”，“至多两个”的否定是“至少三个”等．

【跟踪训练】

1．写出下列命题的否定，并判断所得命题的真假．

(1)p：32；

(2)q：空集是集合A的子集；

(3)s：5不是75的约数．

解：(1)綈p：3≥2.因为命题p是假命题，所以綈p是真命题．

(2)綈q：空集不是集合A的子集．因为命题q是真命题，所以綈q是假命题．

(3)綈s：5是75的约数．因为命题s是假命题，所以綈s是真命题．

题型二存在量词命题的否定

写出下列命题的否定，并判断所得命题的真假．

(1)有一个奇数不能被3整除；

(2)有些三角形的三个内角都是60°；

(3)?x∈R，|x＋1|≤1.

[解](1)命题的否定为“任意一个奇数都能被3整除”．这个命题是假命题，如5是奇数，但5不能被3整除．

(2)命题的否定为“任意一个三角形的三个内角不都是60°”．这个命题是假命题，如等边三角形的三个内角都是60°.

(3)命题的否定为“?x∈R，|x＋1|1”．这个命题为假命题，如x＝0时，不满足|x＋1|1.

【感悟提升】

1．对存在量词命题否定的两个步骤

(1)改变量词：把存在量词换为恰当的全称量词；

(2)否定结论：原命题中的“有”“存在”等更改为“没有”“不存在”等．

2．存在量词命题否定后的真假判断方法

存在量词命题的否定是全称量词命题，所得全称量词命题的真假性与存在量词命题相反；要说明一个存在量词命题是真命题，只需要找到一个实例即可．

【跟踪训练】

2．写出下列存在量词命题的否定，并判断所得命题的真假．

(1)有些实数的绝对值是正数；

(2)?x∈R，x2＋x＋eq\f(1,4)0；

(3)至少有一个实数x，使x3＋1＝0.

解：(1)命题的否定为“所有实数的绝对值都不是正数”．这个命题是假命题，如2的绝对值是正数．

(2)命题的否定为“?x∈R，x2＋x＋eq\f(1,4)≥0”．

这个命题是真命题，因为当x∈R