3.2 第1课时 函数的零点及其与对应方程、不等式解集之间的关系.DOCXVIP

数学必修第一册RJB

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第1课时函数的零点及其与对应方程、不等式解集之间的关系

(教师独具内容)

课程标准：1.会结合二次函数的图象，判断一元二次方程实根的存在性及实根的个数，了解函数的零点与方程解的关系.2.能借助二次函数求解一元二次不等式，并能用集合表示一元二次不等式的解集.3.借助二次函数的图象，了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系．

教学重点：1.函数零点的概念.2.函数的零点与其对应方程解的关系．

教学难点：1.求函数的零点.2.函数的零点与其对应不等式解集之间的关系．

核心素养：1.通过学习函数零点的概念以及函数的零点与方程解的关系培养数学抽象素养.2.通过利用函数的零点求不等式的解集培养直观想象素养和数学运算素养．

知识点一函数零点的概念

(1)一般地，如果eq\x(\s\up1(01))函数y＝f(x)在实数α处的函数值等于零，即eq\x(\s\up1(02))f(α)＝0，则称α为函数y＝f(x)的零点．

(2)α是函数f(x)零点的充分必要条件是，eq\x(\s\up1(03))(α，0)是函数图象与x轴的公共点．

[注意]函数的零点不是一个点，而是f(x)＝0的根，是函数y＝f(x)的图象与x轴公共点的横坐标．

知识点二二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)的零点与对应方程根的关系

(1)当Δ＝b2－4ac0时，方程ax2＋bx＋c＝0的解集中有eq\x(\s\up1(01))两个元素eq\x(\s\up1(02))x1，x2，且eq\x(\s\up1(03))x1，x2是f(x)的eq\x(\s\up1(04))两个零点，f(x)的图象与x轴有eq\x(\s\up1(05))两个公共点eq\x(\s\up1(06))(x1，0)，(x2，0)．

(2)当Δ＝b2－4ac＝0时，方程ax2＋bx＋c＝0的解集中eq\x(\s\up1(07))只有一个元素eq\x(\s\up1(08))x0，且eq\x(\s\up1(09))x0是f(x)eq\x(\s\up1(10))唯一的零点，f(x)的图象与x轴有eq\x(\s\up1(11))一个公共点．

(3)当Δ＝b2－4ac0时，方程ax2＋bx＋c＝0eq\x(\s\up1(12))没有实数根，此时f(x)eq\x(\s\up1(13))无零点，f(x)的图象与x轴eq\x(\s\up1(14))没有公共点．

1．(函数零点的判断)下列各图象表示的函数中没有零点的是()

答案：D

2．(求函数的零点)函数f(x)＝x2－5x的零点是________．

答案：0和5

3．(函数零点的个数问题)函数f(x)＝x3－64x的零点个数是________．

答案：3

题型一求函数的零点

求下列函数的零点：

(1)f(x)＝x2＋7x＋6；

(2)f(x)＝eq\f(x2＋4x－12,x－2).

[解](1)解方程x2＋7x＋6＝0，得x＝－1或x＝－6，

所以函数的零点是－1，－6.

(2)解方程eq\f(x2＋4x－12,x－2)＝0，得x＝－6，

所以函数的零点为－6.

【感悟提升】求函数零点的方法

函数的零点就是对应方程的根，求函数的零点常有两种方法：

(1)令f(x)＝0，方程f(x)＝0的根就是函数的零点；

(2)作出函数f(x)的图象，图象与x轴公共点的横坐标就是函数的零点．

【跟踪训练】

1．(1)若函数f(x)＝x2＋x－a的一个零点是－3，求实数a的值，并求函数f(x)其余的零点．

解：由题意，知f(－3)＝0，

即(－3)2－3－a＝0，a＝6，

所以f(x)＝x2＋x－6.

解方程x2＋x－6＝0，得x＝－3或2.

所以a＝6，函数f(x)其余的零点是2.

(2)求下列函数的零点：

①y＝－x2－x＋20；

②y＝(x2－2)(x2－3x＋2)；

③y＝x3－7x＋6；

④y＝x4－1.

解：①令y＝0，即－x2－x＋20＝0，

解得x1＝－5，x2＝4，

所以所求函数的零点为－5，4.

②令y＝0，即(x2－2)(x2－3x＋2)＝0，(x＋eq\r(2))·(x－eq\r(2))(x－1)(x－2)＝0，解得x1＝－eq\r(2)，x2＝eq\r(2)，x3＝1，x4＝2，

所以所求函数的零点为－eq\r(2)，eq\r(2)，1，2.

③因为x3－7x＋6＝(x3－x)－(6x－6)＝x(x2－1)－6(x－1)＝x(x＋1)(x－1)－6(x－1)＝(x－1)(x2＋x－6)＝(x－1)(x－2)(x＋3)，

所以由x3－7x＋6＝0，得x1＝－3，x2＝1，x3＝2，

所以所求函数的零点为－3，1，2.

④由于y＝x4－1＝(