2026年高考数学一轮总复习考点规范练61证明与探究性问题.docxVIP

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课时规范练61证明与探究性问题

1.(13分)已知双曲线M:x2a2?y2b2=1(a0,b0)与双曲线N:x

(1)分别求双曲线M和双曲线N的方程;

(2)如图,过点T(0,1)的直线l(斜率大于0)与双曲线M和双曲线N的左、右两支依次相交于点A,B,C,D,证明:|AB|=|CD|.

2.(15分)(2024·北京,19)已知椭圆E:x2a2+y2b2=1(ab0)的离心率为53,A,C分别是E的上、下顶点,

(1)求E的方程;

(2)设P为第一象限内E上的动点,直线PD与直线BC交于点M,直线PA与直线y=-2交于点N.求证:MN∥CD.

3.(17分)(2025·八省联考,18)已知椭圆C的离心率为12,左、右焦点分别为F1(-1,0),F2(1,0)

(1)求C的方程;

(2)已知点M0(1,4),证明:线段F1M0的垂直平分线与C恰有一个公共点;

(3)设M是坐标平面上的动点,且线段F1M的垂直平分线与C恰有一个公共点,证明M的轨迹为圆,并求该圆的方程.

4.(15分)已知点A(-2,1),直线l与抛物线x2=4y交于B,C两点(均不同于点A).设直线AB,AC的斜率分别为k1,k2,有k1+k2=2k1k2.

(1)证明:直线l经过定点.

(2)若B,C两点在y轴的异侧,则存在几条直线l,使△ABC的面积为4?

课时规范练61证明与探究性问题

1.(1)解:由题意可知双曲线N的焦距为2m2+2m2=23

解得m2=1,即双曲线N:x2-y22=

因为双曲线M与双曲线N的渐近线相同,不妨设双曲线M的方程为x2-y22=λ,因为双曲线M经过点(2,2),所以4-2=λ,解得λ=2,则双曲线M的方程为x2

(2)证明:不妨设直线l的方程为y=kx+1(k0),A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),D(x4,y4),联立y=kx+1,x2-y22=λ,消去y并整理得(2-k2)x2-2kx-1-2λ=0,此时2-k2≠0,Δ=4k2+4(2-k2)(1+2λ)0,当λ=1时,由根与系数的关系得x2+x3=2k2

所以AD与BC的中点的横坐标均为k

因为A,B,C,D在同一直线l上,所以AD与BC的中点重合,不妨设该点为E,此时|EA|=|ED|,|EB|=|EC|,则|EA|-|EB|=|ED|-|EC|,

故|AB|=|CD|.

2.(1)解:由题设,得2b=4

所以椭圆E的方程为x29+

(2)证明:设P(x0,y0),其中x00,y00,且满足x029+y024=1.由(1)知,A(0,2),B(-3,0),C(0,-2),D(3,0),所以直线BC的方程为y=-23x-2,

由y=y0x0-3

直线AP的斜率为y0-2x0,所以直线AP的方程为

因为直线AP与直线y=-2交于点N,所以点N的横坐标xN=-

所以直线MN的斜率kMN=-

又因为直线CD的斜率kCD=23,所以kMN-kCD=

因为-2xM+xN=12x0

=12x0(

因为x029+y024=1,即4x02+9y02=36,所以-2xM+xN=0,即kMN-kCD=0.显然

3.(1)解:因为椭圆的左、右焦点分别为F1(-1,0),F2(1,0),所以c=1.又因为椭圆C的离心率为12,得a=2,所以b2=3.所以椭圆C的方程为x24

(2)证明:由M0(1,4),F1(-1,0)得,直线M0F1的斜率为k=2,线段M0F1的中点坐标为(0,2),所以线段F1M0的垂直平分线方程为y=-12x+2

联立垂直平分线方程和椭圆方程x24+y23=1,y=-12x+2,得x2-2x+1=0,因为Δ=4-4=0,所以直线与椭圆相切,解得x=

(3)解:(方法1)设M(x0,y0).

当y0=0时,线段F1M的垂直平分线方程为x=x0-12,此时x0-12=±2,解得x

当y0≠0时,线段F1M的垂直平分线方程为y=-x0+1y0(x-x0-12)+y02=-x0+1y0x+x02+y02-12y0,联立y=-x0+1

因为线段F1M的垂直平分线与C恰有一个公共点,

所以Δ=16(x0+1)2(x02

即(x02+y0

则y04+(2x02-14)y02+x04-18x02-32x0-15=0,即y04+(2x02-14)y02+(x0+1)2(x0+3)(x0-5)=0,y04+(2x02-14)y02+(x02+2x

因为x02+y02+2x0+1=(x0+1)2+

而(5,0),(-3,0)也满足该式,故点M的轨迹是圆,该圆的方程为x2+y2-2x-15=0,即(x-1)2+y2=16.

(方法2)设线段F1M的垂直平分线l与C恰有一个公共点为P,则当点P不在椭圆长轴时,线段F1M的垂直平分线l即为C在点P