专题3 综合与实践 课后同步作业 2025-2026学年人教版八年级数学上册.docx

专题3综合与实践

1.阅读教材第18页阅读与思考，解决下列问题：

李明疑惑为何已通过测量三角形内角得出内角和为180

问题:(1)在△ABC中,∠A=2∠B,∠C=90°,求∠A和∠B的度数;

(2)小王测量了20个直角三角形的内角和都是180°，就断言所有三角形的内角和都是180

(3)用平行线知识证明三角形的内角和为180°(画出示意图辅助证明)；

(4)除了材料中的方法，还有哪些方法可以证明三角形的内角和为180°?

2.阅读教材第19页数学活动，解决下列问题：

某老师提供了若干根等长的磁力棒.

(1)若用磁力棒在平面上搭等边三角形，每增加一个等边三角形，至少需要增加几根磁力棒?搭n个平面等边三角形至少共需要多少根磁力棒?

(2)已知用3根磁力棒可搭成一个平面等边三角形，用6根磁力棒可搭成一个正四面体(有4个等边三角形).现有12根磁力棒，若考虑搭立体图形，最多能得到多少个等边三角形?请说明搭建思路.

3.阅读教材第23页综合与实践，解决下列问题：

在“确定匀质薄板的重心位置”综合与实践活动中：

匀质薄板重心的位置在生活和工程中有着重要的应用，比如运动员调整身体重心改变方向，建筑的重心必须在一定范围内等.我们可以通过探究简单平面图形的重心，进而研究组合图形的重心.

任务一：简单平面图形重心的探究

(1)请用物理实验的方法，设计一个方案来确定线段的重心位置，并说明原理；

(2)已知平行四边形的重心是其两条对角线的交点，现有一个底为6厘米，高为4厘米的大平行四边形匀质薄板，若在其内部挖去一个底为2厘米，高为2厘米的小平行四边形(小平行四边形的一边与大平行四边形的一边重合，且对应边平行)，请尝试分析剩余部分薄板的重心位置可能会如何变化(不要求精确计算).

任务二：组合图形重心的计算

由一个长8厘米、宽6厘米的长方形和一个腰长5厘米的等腰直角三角形组成的匀质薄板(三角形的一条直角边与长方形的长重合).

(1)分别确定长方形和等腰直角三角形的重心位置；

(2)建立合适的平面直角坐标系，设长方形的重心坐标为A(x?，y?)，等腰直角三角形的重心坐标为B(x?，y?)，组合图形的重心坐标为C(x，y).若已知长方形的面积为S?，等腰直角三角形的面积为S?，总面积为S=

专题3综合与实践

1.解:(1)因为三角形的内角和为180°,在△ABC中,∠C=90°,所以∠A+∠B=180°-90°=90°.

把∠A=2∠B代入∠A+∠B=90°,得2∠B+∠B=90°,即3∠B=90°,解得∠B=30°,则∠A=2∠B=2×30°=60°.

小王的结论不合理.他只测量了20个直角三角形，而三角形包含多种类型，数量是无限的.他考察的只是有限个三角形，不能代表所有三角形，仅通过这些测量得出所有三角形的内角和都是180°的结论缺乏说服力.

(3)如答图,画△ABC,过点A作直线EF∥BC.

证明:已知:△ABC.

求证:∠BAC+∠B+∠C=180°.

证明：因为EF∥BC，根据两直线平行，内错角相等，所以∠B=∠EAB,∠C=∠FAC.

又因为∠EAB+∠BAC+∠FAC=180°(平角定义),所以∠BAC+∠B+∠C=180°,即三角形的内角和为180°.

(4)剪拼法(方法不唯一)

操作过程：①任意剪出一个三角形，比如△ABC；

②把三角形的三个角∠A，∠B，∠C分别剪下来；

③将这三个角的顶点拼在一起，可以发现能够拼成一个平角.

原理：因为平角的度数是180°，所以直观地表明了三角形的三个内角之和等于180°.

2.解：(1)在平面上搭等边三角形，第一个三角形用3根磁力棒，之后每增加一个等边三角形，至少需要增加2根磁力棒(与前一个三角形共用一条边).

搭n个平面等边三角形时，第一个三角形用3根，后面(n-1)个三角形每个用2根,则至少共需要3+2(n-1)=2n+1根磁力棒.

(2)最多能得到10个等边三角形.

搭建思路：先用6根磁力棒搭一个正四面体，得到4个等边三角形；再用另外3根磁力棒在这个正四面体的基础上，以正四面体的其中一个面为公共面，再搭一个正四面体.这样两个正四面体共有4+4-1=7个面；再用剩余3根磁力棒以其中一个面为公共面，再搭一个正四面体，总共能得到7+3=10个等边三角形.

3.解：任务一：

(1)方案：取一条质地均匀的线段，用细线将线段悬挂起来，轻轻转动线段，当线段静止时，标记出细线与线段的交点A；再换一个位置悬挂线段，重复上述操作，得到交点B.线段AB的中点就是该线段的重心.

原理：根据二力平衡，当线段静止时，重力和细线的拉力在同一条直线上，两次悬挂确定的两条竖直线的交点(即线段的中点)就是重力的等效作用点，也就是重心.

(2)因为挖去的小平行四边形在大平行四边形的内部，且两者都是匀质的