专题12 等腰三角形共顶点 课后同步作业 2025-2026学年人教版八年级数学上册.docx

专题12等腰三角形共顶点

类型一双等边三角形共顶点

1.如图,以△ABC的边AB,AC为边,向外作等边三角形ABD和等边三角形ACE,连接BE,CD,相交于点F.

(1)求证:△

(2)求证:BE=DC;

(3)求∠DFE的度数.

2.(1)如图①，已知△ABC为等边三角形，D为边BC上一动点(不与点B，C重合)，以AD为边向右侧作等边三角形ADE,连接CE,求证:△ABD≌△ACE;

(2)如图②，若点D在边BC的延长线上，随着动点D的位置不同，猜想并证明AB与CE的位置关系及线段EC，AC，CD之间的数量关系.

类型二双等腰直角三角形共顶点

3.如图，分别以△ABC的边AB，AC为边向外作等腰直角三角形ABD和等腰直角三角形ACE，∠BAD=90°,∠CAE=90°.

(1)如图①,连接BE,CD,求证:BE=CD;

(2)如图②,连接DE,求证:S△ABC=S△ADE.

4.已知△ACD和△BCE都是等腰直角三角形,∠ACD=∠BCE=90°.

【初步探索】(1)如图①,摆放△ACD和△BCE(点A,C,B在同一条直线上,点E在CD上),连接AE，BD，判断线段AE与BD的数量关系和位置关系；

【拓展延伸】(2)如图②,摆放△ACD和△BCE,连接AE,BD,(1)中的结论是否仍然成立?请说明理由.

类型三一般双等腰三角形共顶点

5.如图①,在△ABC和△ADE中,AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE,连接BD,CE,BD和CE相交于点F，若△ABC不动，将△ADE绕点A任意旋转一个角度.

(1)求证:△BAD≌△CAE;

(2)如图①,若∠BAC=∠DAE=90°,判断线段BD与CE的关系,并说明理由;

(3)如图②,若∠BAC=∠DAE=60°,求∠BFC的度数;

(4)如图③,若∠BAC=∠DAE=α,直接写出∠BFC的度数(不需要说明理由).

模型积累

【模型】三角形旋转后得到共顶点的等腰三角形

【条件】△

【方法】绕三角形一顶点旋转.

【结论】∠BAD=∠

专题12等腰三角形共顶点

1.(1)证明:∵△ABD和△ACE都为等边三角形,∴AD=AB,AE=AC,∠DAB=∠EAC=60°,∴∠DAB+∠BAC=∠EAC+∠BAC,即∠DAC=∠BAE.

在△DAC和△BAE中{AD

(2)证明:由(1)知△DAC≌△BAE,∴BE=DC.

(3)解:由(1)知△DAC≌△BAE,∴∠ACD=∠AEB,则∠DFE=∠FEC+∠FCE=∠FEC+∠ACD+∠ACE=∠FEC+∠AEB+∠ACE=∠AEC+∠ACE=120°.

2.(1)证明:∵△ABC和△ADE是等边三角形,∴AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE=60°,

∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC,即∠BAD=∠CAE.

在△ABD和△ACE中{

∴△ABD≌△ACE(SAS).

(2)解:AB∥CE,EC=AC+CD.证明如下:

由(1)得△ABD≌△ACE,

∴∠B=∠ACE=60°,CE=BD.

∵∠B=∠BAC,∴∠BAC=∠ACE,∴AB∥CE.

∵CE=BD,AC=BC,

∴CE=BD=BC+CD=AC+CD.

3.证明:(1)∵△ABD和△ACE都是等腰直角三角形,

∴AB=AD,AC=AE,∠BAD=∠CAE=90°,

∴∠BAD+∠BAC=∠CAE+∠BAC,即∠CAD=∠EAB.在△CAD和△EAB中{

∴△CAD≌△EAB(SAS),∴BE=CD.

(2)如答图,作DG⊥EA交EA的延长线于点G,BH⊥AC于点H,则∠AGD=∠AHB=90°.

∵∠CAE=90°,∴∠CAG=90°=∠BAD,

∴∠DAG=∠BAH.

在△ADG和△ABH中,{

∴△ADG≌△ABH(AAS),∴DG=BH.

∵

∴

4.解:(1)如答图①,延长AE交BD于点F.

在△ACE和△DCB中{

∴△ACE≌△DCB(SAS),

∴AE=BD,∠CAE=∠CDB.

∵∠CDB+∠DBC=90°,∴∠CAE+∠DBC=90°,

∴∠AFB=90°,∴AE⊥BD.

(2)(1)中的结论仍然成立,AE=BD,AE⊥BD.理由如下：

如答图②,延长AE交BD于点M,交CD于点G.

∵∠ACD=∠BCE=90°,

∴∠ACD-∠ECD=∠BCE-∠ECD,即∠ACE=∠DCB.

在△ACE和△DCB中{

∴△ACE≌△DCB(SAS),∴AE=BD,∠CAE=∠CDB.

∵∠CAE+∠AGC=90°,∠AGC=∠DGM,

∴∠CDB+∠DGM=90°,∴∠AMD=90°,∴AE⊥BD.

5.(1)证明:∵∠BAC=∠DAE,

∴∠BAC+∠CAD=∠DAE+∠CAD,

即∠B