专题9 利用平行线构造等腰三角形 课后同步作业 2025-2026学年人教版八年级数学上册.docx

专题9利用平行线构造等腰三角形

类型一作“平行线”构造等腰三角形

基本图形：如图，若AB=AC,DE‖AC,则△BDE为等腰三角形.

1.如图,CE是△ABC的角平分线,EF∥BC交AC于点F,求证:△FEC是等腰三角形.

2.如图①,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=45°,BD⊥AC,P为边AB上一点(不与点A,B重合),PM⊥BC,垂足为M,交BD于点N.

(1)试猜想PN与BM之间的数量关系，并证明.

(2)若P为边AB延长线上一点，PM⊥BC所在直线，垂足为M，交DB的延长线于点N，请在图②中画出图形，并判断(1)中的结论是否成立.若成立，请证明；若不成立，请写出你的猜想并证明.

类型二利用“角平分线+平行线”构造等腰三角形

方法技巧：有角平分线时，常过角平分线上一点作角的一边的平行线，从而构造等腰三角形.

基本图形:如图,若∠1=∠2,AC∥OB,则△OAC为等腰三角形.

3.如图,Ⅰ为△ABC的三个内角的平分线的交点，AAC=4,BC=6,AB=5.将∠ACB平移，使其顶点与点Ⅰ重合，则图中阴影部分的周长为.

4.如图，在△ABC中,D,E分别是AB,AC边上的点,△ADC?△ADC′,△AEB?△AEB′,，且C′D‖EB

5.如图，在△ABC中，AD平分∠BAC,,E是BC上一点,BE=CD,EF‖AD交AB于点F,交CA的延长线于点P，CH∥AB交AD的延长线于点H.

(1)求证:△APF是等腰三角形;

(2)猜想AB与PC的数量关系，并证明你的猜想.

6.如图,在Rt△ABC中,∠BCA=90°,∠BAC=α,BM∥AC,∠BAC的平分线交BM于点F,∠ABF的平分线交AF于点E,连接EC.

(1)求证:AE=EF;

(2)当BE=AC时,请求出α的值.

专题9利用平行线构造等腰三角形

1.证明:∵CE是△ABC的角平分线,∴∠FCE=∠BCE.

∵EF∥BC,∴∠FEC=∠BCE,

∴∠FCE=∠FEC,∴FE=FC,

∴△FEC是等腰三角形.

2.解:(1)PN=2BM.证明如下:

如答图①,作PF∥AC交BC于点F,交BD于点E.

∵BD⊥AC,PF∥AC,∴PF⊥BD,∠BPE=∠A=45°,

∴∠BEP=90°,∠PBE=∠BPE=45°,∴BE=PE.

∵PM⊥BC,∴∠PMB=∠PEN=90°.

∵∠BNM=∠PNE,∴∠NPE=∠EBF.

∵∠PEN=∠BEF=90°,

∴△PEN≌△BEF(ASA),∴PN=BF.

∵AB=AC,∴∠ABC=∠C.

∵PF∥AC,∴∠PFB=∠C,

∴∠PFB=∠PBF,∴PB=PF.

∵PM⊥BF,∴BM=MF,∴PN=2BM.

(2)结论成立.证明如下：

如答图②,作PE∥AC交CM的延长线于点E,交DN的延长线于点F.

∵PF∥AC,BD⊥AC,∴BF⊥EP.

∴∠ABD=∠PBF=∠BPF=45°,∴BF=PF.

∵∠E+∠EBF=90°,∠E+∠EPM=90°,

∴∠EBF=∠EPM.

∵∠EFB=∠NFP,BF=PF,

∴△BFE≌△PFN(ASA),∴BE=PN.

∵∠E=∠C=∠ABC=∠PBE,∴PE=PB.

∵PM⊥EB,∴EM=BM,∴PN=2BM.

3.54.100°

5.(1)证明:如答图.∵EF∥AD,∴∠1=∠4,∠2=∠P.

∵AD平分∠BAC,∴∠1=∠2,

∴∠4=∠P,∴AF=AP,即△APF是等腰三角形.

(2)解:AB=PC.证明如下:

∵CH∥AB,∴∠5=∠B,∠H=∠1.

∵EF∥AD,∴∠1=∠3,∴∠H=∠3.

在△BEF和△CDH中{

∴△BEF≌△CDH(AAS),∴BF=CH.

∵AD平分∠BAC,∴∠1=∠2,∴∠2=∠H,

∴AC=CH,∴AC=BF.

∵AB=AF+BF,PC=AP+AC,∴AB=PC.

6.(1)证明:∵BM∥AC,AF平分∠BAC,

∴∠AFB=∠FAC=∠FAB,∴AB=BF.

∵BE平分∠ABF,∴AE=EF.

(2)解:如答图,设BC与AE相交于点D.

由(1)可知BE⊥AF.

在△ACD和△BED中,{

∴△ACD≌△BED(AAS),

∴∠CAD=∠EBD,AD=BD.∴∠BAD=∠DBA.

∵AF平分∠BAC,∴∠CAD=∠BAD.

∴∠CBA=∠BAD=∠CAD.

∵BC⊥AC,∴∠CAD=∠BAD=∠CBA=30°,

∴∠BAC=60°,即α=60°.