专题11 与等腰三角形有关的基本图形 课后同步作业 2025-2026学年人教版八年级数学上册.docx

专题11与等腰三角形有关的基本图形

类型一构造“一线三等角”型

1.如图,在△ABC中,∠ABC=45°,∠C=22.5°,BD⊥CA,交CA的延长线于点D.若AC=8cm,

2.如图,在四边形ABCD中,AB=AD,∠BAD=∠BCD=90°,连接AC.若AC=6,，则四边形ABCD的面积为

3.如图,在△ABC中,AB=BC,AB⊥BC,B(0,2),C(2,-2),求点A的坐标.

4.如图,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=90°,D为BC上一点,过点D作DE⊥AD,且DE=AD,连接BE,求∠DBE的度数.

5.如图,在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,D是AC边上一点,连接BD,EC⊥AC,垂足为C,且AE=BD,AE交线段BC于点F.

(1)在图中画出符合题意的图形，并证明CE=AD；

(2)当∠CFE=∠ADB时,求证:BD平分∠ABC.

类型二构造双等边三角形

6.如图,△ABC是等边三角形,D,E分别为AB,BC边上的点,DE=EF,∠DEF=60°.

(1)如图①,若点F在AC边上,求证:AD=CF;

(2)如图②,O是BC的中点,点H在△ABC内,∠BHC

7.如图,已知AB=AC,直线m经过点A,点D,E是直线m上的两个动点,连接BD,CE.

(1)如图①,若∠BAC=90°,BD⊥DE,CE⊥DE,求证:DE=BD+CE;

(2)如图②,若∠BAC=∠BDA=∠AEC,则(1)中的结论DE=BD+CE还成立吗?请说明理由；

(3)如图③,在(2)的条件下,F为∠BAC的平分线上的一点,且△ABF和△ACF均为等边三角形，试判断△DEF的形状，并说明理由.

模型积累

【模型1】“一线三等角”型

【条件】如图，AB

【方法】过斜边的两端点B，C分别向过点A的直线作垂线.

【结论】△

【模型2】共顶点的双等边三角形

【条件】如图，△ABC

【方法】作等边三角形DBE.

【结论】△ABD

专题11与等腰三角形有关的基本图形

1.42.3

3.解:如答图,作CM⊥y轴于点M.

∵B(0,2),C(2,-2),∴CM=BO=OM=2,∴BM=4.在Rt△AOB和Rt△BMC中,AB

∴Rt△AOB≌Rt△BMC(HL),∴AO=BM=4,

∴点A的坐标为(-4,0).

4.解:如答图,作AM⊥BC于点M,作EN⊥BC于点N,

∴∠END=90°.

∵AB=AC,∠BAC=90°,AM⊥BC,

∴AM=MB=CM,∠AMD=90°.

∵AD⊥DE,∴∠ADE=90°,

∴∠ADM+∠EDN=90°,∠EDN+∠NED=90°,

∴∠MDA=∠NED.

∵AD=DE,∴△AMD≌△DNE(AAS),

∴DM=EN,DN=AM=BM,

∴DN-MN=BM--NM,即DM=BN,

∴BN=EN,∴∠DBE=∠BEN=45°.

5.(1)解：画出图形如答图.

证明:在Rt△ACE和Rt△BAD中,{

∴Rt△ACE≌Rt△BAD(HL),∴CE=AD.

(2)证明:∵Rt△ACE≌Rt△BAD,∴∠E=∠ADB.

∵∠CFE=∠ADB,∴∠CFE=∠E.

∵∠ACE+∠DAB=180°,∴CE∥AB,∴∠E=∠FAB.

∵∠CFE=∠AFB,∴∠BAF=∠AFB.

∵∠ADB=∠E=∠EAB,∴AE⊥BD,

∴∠EAB+∠ABD=90°,∠AFB+∠FBD=90°,

∴∠ABD=∠FBD,∴BD平分∠ABC.

6.(1)证明:如答图①,连接DF.

∵DE=EF,∠DEF=60°,

∴△DEF是等边三角形,∴DF=EF.

∵△ABC是等边三角形,∴∠A=∠C=60°.

∵∠AFE=∠AFD+∠DFE=60°+∠AFD,∠AFE=∠C+∠FEC=60°+∠FEC,

∴∠AFD=∠FEC.又∠A=∠C,DF=EF,

∴△ADF≌△CFE(AAS),∴AD=CF.

(2)解:如答图②,延长MO到点G,使OG=OM,连接NG,BG,NM,作∠ACQ=∠ABN,且使CQ=BN,连接MQ,AQ.

∵MO⊥NO,OM=OG,∴NG=MN.

∵MO=OG,BO=OC,∠MOC=∠BOG,

∴△BOG≌△COM(SAS),

∴BG=CM,∠GBO=∠OCM,

∴BG∥CM,∴∠NBG=180°-∠BHC=60°.

∵∠BHC=120°,∴∠HBC+∠HCB=60°.

∵△ABC是等边三角形,∴∠ABC=∠ACB=∠BAC=60°,

∴∠ABH+∠HBC=60°,∠ACH+∠HCB=60°,

∴∠ABH=∠HCB,∠HBC=∠ACH.

∵∠ACQ=∠ABN,AB=AC,BN=CQ,

∴△ACQ≌△ABN(SAS),∴AN=AQ,∠BAN=∠CAQ.

∵∠ACB=∠