专题10 利用三线合一作辅助线 课后同步作业 2025-2026学年人教版八年级数学上册.docx

专题10利用三线合一作辅助线

类型一等腰三角形中有底边中点时，常作底边上的中线

1.如图，在△ABC中,AB=AC,D是BC的中点,E,F分别是AB,AC上的点,且AE=

2.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,∠A=∠B,D是AB的中点,点E在边AC上,点F在边BC上,且AE=CF.求证:DE=DF.

3.如图,在△ABC中,∠B=∠C,过BC的中点D作DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别为E,F.

(1)求证:DE=DF;

(2)若∠BDE=40°,求∠BAC的度数.

4.如图,在△ABC中,AB=AC,点D,E,F分别在BC,AB,AC上,且BD=

类型二等腰三角形常作底边上的高

5.(2024春·邗江期末)如图,点D,E在△ABC的边BC上，AD=

6.如图,在△ABC中,AC=2AB,AD平分∠BAC交BC于点D,E是AD上一点,连接BE,EC,且EA=EC.求证:EB⊥AB.

7.小明遇到这样一个问题：

如图①,在△ABC中,∠ACB=90°,点D在AB上,且BD=BC,求证:∠ABC=2∠ACD.

小明发现，除了直接用角度计算的方法外，还可以用下面的方法：如图②，作BE⊥CD，垂足为E,证明∠ABC=2∠ACD.请从以上两种方法中任选一种，加以证明

模型积累

【模型】“三线合一”

①【条件】若AB=AC,AD?BC.

【结论】BD=CD,∠1=∠2. 【结论】∠1=∠2,AD

专题10利用三线合一作辅助线

1.证明：如答图，连接AD.

∵AB=AC,D是BC的中点,∴∠EAD=∠FAD.

在△AED和△AFD中{

∴△AED≌△AFD(SAS),∴DE=DF.

2.证明：如答图，连接DC.

∵∠A=∠B,∴BC=AC.

∵∠BCA=90°,∴△ABC是等腰直角三角形.

∵D为AB的中点,

∴BD=CD=AD,CD平分∠BCA,CD⊥AB.

∵∠A+∠ACD=∠ACD+∠FCD=90°,∴∠A=∠FCD.

在△ADE和△CDF中{

∴△ADE≌△CDF(SAS),∴DE=DF.

3.(1)证明:如答图,连接AD.

∵∠B=∠C,∴AB=AC.

∵D为BC的中点,∴∠BAD=∠CAD.

在△ADE和△ADF中{

∴△ADE≌△ADF(AAS),∴DE=DF.

(2)解:∵∠BDE=40°,∴∠B=50°,∴∠C=50°,

∴∠

4.证明:如答图,连接ED,DF.

∵AB=AC,∴∠B=∠C.

在△BED和△CDF中{

∴△BED≌△CDF(SAS),∴DE=DF.

∵G是EF的中点,∴DG⊥EF.

5.证明:如答图,过点A作AF⊥BC于点F.

∵AD=AE,∴DF=EF.

∵BD=CE,∴BD+DF=CE+EF,即BF=CF.

∵AF⊥BC,∴AB=AC.

证明:如答图,作EF⊥AC于点F.

∵

∵AC=2AB,∴AF=AB.

∵AD平分∠BAC,∴∠BAD=∠CAD.

在△BAE和△FAE中{

∴△BAE≌△FAE(SAS),∴∠ABE=∠AFE=90°,

∴EB⊥AB.

7.证明:(方法1)∵∴∠

又∵BC=BD,∴∠BCD=∠BDC,

∴∠ABC

(方法2)∵∠ACB=90°,

∴∠ACD+∠BCE=90°,∠CBE+∠BCE=90°,

∴∠ACD=∠CBE.

又∵BC=BD,BE⊥CD,

∴∠ABC=2∠CBE,∴∠ABC=2∠ACD.