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第七节 Euler 方 程 一、 Euler 方程的定义 二、 Euler 方程的解法 一、 Euler 方程的定义 欧拉方程 n (n ) n-1 (n-1) ﾢ x y + p x y + Lp xy + p y = f (x ) 1 n- 1 n (p k 为常数) t 令 x = e , 即 t = ln x 常系数线性微分方程 二、 Euler 方程的解法 下面我们以二阶 Euler 方程为例 介绍其求解方法 . 2 2 d y dy x 2 + bx + cy = f (x ), dx dx t 令 x = e , 则 t = ln x , 则 d y d y dt 1 d y d y ﾢ = = xy = d x d t d x x dt d t d2 y d 1 d y dt 1 d2 y d y 2 = ( ) ﾢ = 2 ( 2 - ) d x d t x d t d x x dt dt 2 d2 y d y ﾢﾢ x y = 2 - d t d t 将其代入原方程 , 于是 Euler 方程可化为 d2 y dy t 2 + (b - 1) + cy = f (e ). d t dt 此方程的通解经变换 t =ln x, 即可得到二阶 Euler 方程的通解 . 2 2 d y dy 例 1 求 方程 x的通解- x + y = 2ln x . dx 2 dx 解 作 变换 x，= et 原 方程 变 为 d2 y dy 2 - 2 + y = 2t . d t dt 特 征 方程 为l 2 - 2l + 1 = 0,
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