(125)--高等数学C第十二章第三节.pdfVIP

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2023-01-17 发布于湖北
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第三节一阶常系数线性差分方程一、一阶常系数齐次线性差分方程的求解二、三、小结一阶常系数齐次线性差分方程的一般形式 y x  1  ayx  0(a  0为常数) (1) 一阶常系数非齐次线性差分方程的一般形式 y x  1  ayx  f (x ) (2) (a  0为常数，f  x   0)     注：1 为 2 所对应的一阶常系数齐次线性差分方程. 一、一阶常系数齐次线性差分方程的求解 1.迭代法 y x  1  ay x  0 (a ﾹ 0为常数) (1) 设y为已知 , 方程依(1)次可得， 0 y 1  ay0 2 y 2  ay1  a y 0 3 y 3  ay2  a y 0  x y x  ayx  1  a y 0 容易验证，y  a x y 满足差分方程，令 x 0 y 0  C为任意常数，于是差分方程（1）的通解为Y  Cax . x 例1 求2的y 通解 y  0 . x  1 x 1 解 y x  1  (  )y x  0, 2 1 x 故差分方程的通解为Y  C(  ) . x 2 2.特征根法 y x  1  ay x  0, (a ﾹ 0为常数). (1) 方程(1)变形为 Dy x  (1 a )y x  0, (a ﾹ 0为常数). 根据Dl x  (l  1)l x , 可以看出y的形式一定为某一指数函数. x x 设y，代l入(得l ﾹ 0) (1) x l x  1  al x  0. 特征方即l  a  0 程 l ＝a 特