(126)--高等数学C第十二章第四节.pdfVIP

第四节 二阶常系数线性差分方 程 一、二阶常系数齐次线性差分方程的求解 二、 三、小结 1. 定义 形 如 y x + 2 + ay x +1 + by x = f (x ) (其 中a均, b为ﾹ 常0 数 ，为 已知f (函x)数 ) 的差 分 方程，称 为二 阶 常系数线性 差分 方程． f (x )  0时称为非齐次的，否则称为齐次的． y x + 2 + ayx + 1 + byx = 0称为相应的齐次方程． 2. 解的结构定理 二阶常系数线性差分方程的通解 等于对应齐次方程的通解加上非齐次方程的一个  特解 . 即 y x = y x + y x . 一 、二 阶常系数齐次线性差分方程的求解 方程 y变 为+ ay + by = f (x ) x + 2 x +1 x 2 D y x + (2 + a )Dy x + 1 + (1+ a + b )y x = 0, b ﾹ 0, 根 据 方程 的特 点, 可假 设 它具有 如 下形 式 的:解 Y = l x (l ﾹ 0) x 代 入 方程,得 l x + 2 + al x +1 + bl x = 0, 即 l 2 + al + b = 0. 此 方程 称 为对 应齐 次 方程的特其征根方为程,  a + a 2  4b  a  a 2  4b l1 = ,l2 = 2 2 称 为相 应 方程的特 征根. 现根据a2  4b 的符号来确定其通解形 式. (1) 第一种情形 a2  4b 时 有两个相异的实特征根 l 与l ，此时的通解具有 1 2 如下形式 y = C l x + C l x , (C ,C 为任 意 常数). x 1 1 2 2 1 2 (2) 第二种情形 a2 = 4b 时 a 方程有两个相等的实特 征根l1 = l2 =  ，此时 2 的通解具有如下形式 a x y = (C + C x )( ) , (C ,C 为任 意 常数). x 1 2 1 2 2 (3) 第三种情形 a2  4b 时 方程有一对共轭的复特 征根, 1 l1 =  a + i 4b  a2 = a + ib