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第九节 微分方程在经济学中的应 用 一、微分方程在经济中的应用 二、小结 一、微分方程在经济中的应用 2 例1 某 商 品的需求量Q对价格 的P 弹性 为如3果P . 该 商 品的最大 需求量 为10000件 ( Q(0) = 10000), 试 求: (1) 需求量Q与价格 的P 函数 关系 ; (2) 当价格 为1时市, 场对 该 商 品的需求量. 解 (1)由弹性 的定 义, P dQ 2 dQ � = -3P , = -3PQ . Q dP dP 分 离变量解 此微 分 方程, 得 其通解 为 3 2 - P Q = C e 2 . 由于Q P = 0 = 10000, 故C = 10000. 3 - (2) 当P时=件1 ,Q = 10000e 2 ﾻ 2231( ). 当价格 为1时市, 场对 该 商 品的需求量 为2231件 . 例2 设某种 商 品需求 函数 与供 给函数 分 别 为 ﾻQ1 = a - bP ﾻ (a, b, c, d 为正 常数) ﾻQ2 = - c + dP 再假 设 商 品价格P为时 间t的 函数,已知初 始价格 为P且(0)在=任P意, 时刻价格 的变t , 化 率P (t ) 0 总 与这 一 时刻 的超 额 需求Q成- 正Q 比比例(常 1 2 数 为k 0). (1) 求供 需相 等 时 的价格P ( 为均衡 价格 ); e (2) 求价格P的(t表) 达 式 ; (3) 分析 价格P随(t 时) 间的变化 情 况 . a + c 解 (1) 由Q得 = Q P = . 1 2 e b + d (2) 由导数 的意义, 有 dP = k (Q - Q ), 1 2 dt dP + k (b + d )P = k (a + c ). dt 这 是一 阶线性 非齐 次微 分 方程,
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