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第一节 差分的基本概念 一、差分的概念 二、高阶差分的概念 三、小结 一、差分的概念 1. 差分的定义 dy 在一元微积分学中 , 我们用 来刻画函数的变化 率 . dx 但在很多实际问题中 , 函数非否可导 , 甚至是否 连续都不清楚 , 而只知道函数的自变量取某些 点时的函数值 , 这时候自变量与因变量均是离 散变化的 . Dy 所以用差商 替代导数刻画函数的变化 率 . Dx Dx = 1, Dy = y (x + 1) - y (x ) 当 那么 就可以近似地代表变 量 y 的变化率 . 定 义1 设 函数y当=依f 次(x 取). x 遍 非负 整 数 时 ，相 应 的 函数值 可 以排 成 一个 数 列 f (0)，f，(1)， ，f (2)， ，L f (x ) f (x + 1) L 将 其 简 记 为 y ，y，，y ，L， y y , L 0 1 2 x x +1 即 y x = f (x ) (x = 0,1,2, L). 称 函数 的改变量y 为 函- y的 数y也称差 分, x + 1 x 为y点在的x记 为 一 阶差分, Dy x = y x + 1 - y x . 例1 已知y求 = c (c 为常数), Dy . x x 解 Dy x = y x + 1 - y x = c - c = 0. 例2 设 求y x = a x (a 0, a ﾹ 1), Dy x . 解 Dy x = y x + 1 - y x = a x + 1 - a x = a x (a - 1). 例3 求设y x = sinax , Dy x . 解 Dy x = y x + 1 - y x = sina (x + 1) - sinax 1 1 = 2cos a(x + )sin a. 2 2 例4 设 求y x = x 2 , Dy x . 解 Dy = y - y = (x + 1)2 - x 2 = 2x + 1. x x + 1 x 2. 差分的四则运算法则 (1) D (Cy ) = CDy (C为常数); x x (2) D (y x + z x ) = Dy x + Dz x ; (3) D ( y x �z x ) = y x + 1Dz x + z x Dy x = y x Dz x + z x + 1Dy x ; y x z x Dy x - y x Dz x z x + 1Dy x - y x + 1Dz x (4) D ( ) = = . z
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