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第二节 差分方程的概 念 一、差分方程 二、常系数线性差分方程通解的结构 三、小结 一、差分方程 1. 差分方程与差分方程的阶 定义 2 含 有未 知 函数 的差 分D的y x , D y x , LL 1 函数 方程称为 差 分 方程. 一般 形 式 ：F (x , yx ,Dyx , D 2 yx , L,D n yx ) = 0 形式：F (x , y x , y x  1 , L, y x  n ) = 0 或G(x , y x , y x  1 , L, y x  n ) = 0 (n  1) 方程 中未 知 函数 的最大 下标 与最小下标 之差 称为差 分 方程 的阶. 注：由差分的定义及性质可知，差分方程的 不同定义形式之间可以相互转换 . 如y x  5  4y x  3  3y x  2  2 = 0是三阶差分方程； 3 D y x  y x  1 = 0，虽然含 有 三 阶差 分 ，但 实 际上是 二 阶差 分 方程 ， 由于该方程可以化为 y x  3  3y x  2  3y x  1  1 = 0因此它是二阶差分方程， 事实上，作变量代换t = x  1，即可写成 y t  2  3y t  1  3y t  1 = 0. 例 1 下列等式是差分方程的有( ) . A .2Dy = y  x B .  3Dy = 3y  a x x x x x 2 C.D y x = y x  2  2y x  1  y x D .y  2y  3y = 4 x x  1 x  2 解 由差分方程的定义有：A, D是差分方程 . B 的左端  3Dy x = 3(y x  1  y x ) = 3y x  1  3y x ， x 则等式实为  3y x  1 = a ，仅含一个时期的函 2 值y x  1，故不是差分方程.而C的左端D y x = D (y x  1  y x ) = Dy x  1  Dy x = y x  2  2y x  1  y x ， 恰好等于右端，故不是 差分方程. 例 2 确定下列方程的阶 (1)y x  3  x 2 y x 1  3y x = 2; (2)y x  2  y x  4 = y x  2 . 解 (1) x  3  x = 3， (1)是三阶差分方程； (2) x  2  (x  4) = 6， (2)是六阶差分方程. 2. 差分方程的解 如果 函数y代= j入(差x )分 方程 后 ，方程 两边恒 等 ，则称 此 函数 为该差 分 方程 的解. 差分方程的通解 含有与该方程的阶数相同的个数且相互独立的 任意常数 , 称为 差分方程的通解 . 初始条件 为了反映某一事物在变化过程中的客观规律 性，往往根据事物在初始时刻所处状态，对 差分方程所附加的条件 . 差分方程的特解 通解中任意常数被初始条件确定后的解 . 例 3 y x ,U x ,Z x 分 别是 下列差 分 方程 的解 y x  1  ay x = f 1 (x ), y x  1  ay x = f 2 (x ),