高考数学母题：三角试题的“三角变换情结”.docVIP

第17讲:三角试题的“三角变换情结” 41 第17讲:三角试题的“三角变换情结” 揭秘情结 三角试题是安徽高考数学试卷中,解答题的第一题;安徽高考命题把必修中的三章:《三角函数》、《三角恒等变换》、《解三角形》视为一个模块,进行选择性命题,或是三角函数模式,或是解三角形模式,着意分析可以发现:安徽卷中的三角试题,无论是三角函数模式,还是解三角形模式,都以三角变换为解题中心,安徽卷中的三角试题具有强烈的“三角变换情结”！ 情结渊源 1.三角函数模型: 1.(2013年安徽高考试题第一题)(文)设函数f(x)=sinx+sin(x+). (Ⅰ)求f(x)的最小值,并求使f(x)取得最小值的x的集合; (Ⅱ)不画图,说明函数y=f(x)的图像可由y=sinx的图象经过怎样的变化得到. [解析]:由f(x)=sinx+sin(x+)=sinx+(sinx+cosx)=(sinx+cosx)=sin(x+); (Ⅰ)因-1≤sin(x+)≤1当sin(x+)=-1时,f(x)取得最小值-;由sin(x+)=-1x+=2kπ-x=2kπ- 使f(x)取得最小值的x的集合={x|x=2kπ-,k∈Z}; (Ⅱ)①将y=sinx的图象沿x轴向左平移个单位得y=sin(x+)的图象;②将y=sin(x+)的图象上所有点的横坐标不变,纵坐标伸长倍,得y=f(x)的图像. 2.(2013年安徽高考试题第一题)(理)已知函数f(x)=4cosωxsin(ωx+)(ω0)的最小正周期为π. (Ⅰ)求ω的值; (Ⅱ)讨论f(x)在区间[0,]上的单调性. [解析]:由f(x)=4cosωxsin(ωx+)=2cosωx(sinωx+cosωx)=2sinωxcosωx+2cos2ωx=(sin2ωx +cos2ωx)+=2sin(2ωx+)+. (Ⅰ)由最小正周期T==πω=1; (Ⅱ)由(Ⅰ)知又f(x)= 2sin(2x+)+;由2kπ-≤2x+≤2kπ+kπ-≤x≤kπ+,令k=0得:f(x)在[0,]上单调递增f(x)在[,]上单调递减. 3.(2012年安徽高考试题第一题)(理)设函数f(x)=cos(2x+)+sin2x. (Ⅰ)求函数f(x)的最小正周期; 42 第17讲:三角试题的“三角变换情结” (Ⅱ)设函数g(x)对任意x∈R,有g(x+)=g(x),且当x∈[0,]时,g(x)=-f(x),求函数g(x)在[-π,0]上的解析式. [解析]:由f(x)=cos(2x+)+sin2x=(cos2x-sin2x)+(1-cos2x)=-sin2x; (Ⅰ)函数f(x)的最小正周期T==π; (Ⅱ)当x∈[0,]时,g(x)=-f(x)=sin2x;①当x∈[-,0]时,x+∈[0,]g(x)=g(x+)=sin2(x+)= -sin2x;②当x∈[-π,-]时,x+π∈[0,];由g(x+)=g(x)g(x+π)=g(x+)=g(x)g(x)=g(x+π)= sin2(x+π)=sin2x. 综上,函数g(x)在[-π,0]上的解析式为g(x)=. 2.解三角形模型: 1.(2011年安徽高考试题第一题)(文)在△ABC中,a、b、c分别为内角A、B、C,所对的边长,a=,b=,1+2cos(B+C)=0,求边BC上的高. [解析]:由1+2cos(B+C)=01-2cosA=0cosA=sinA=,根据正弦定理sinB==,baBA cosB=sinC=sin(A+B)=(+),由S△ABC=absinC=ah(h为边BC上的高)h=bsinC=. 2.(2012年安徽高考试题第Ⅰ题)(文)设△ABC的内角A、B、C所对边的长分别为a、b、c,且有2sinBcosA=sinAcosC+ cosAsinC. (Ⅰ)求角A的大小; (Ⅱ)若b=2,c=1,D为BC的中点,求AD的长. [解析]:(Ⅰ)由2sinBcosA=sinAcosC+cosAsinC2sinBcosA=sin(A+C)2sinBcosA=sinB(sinB≠0)cosA=,又由A∈(0,π)A=; (Ⅱ)取AC的中点E,则AE=b=1,DE=c=,DE∥AB∠AED=π-∠BAC=;在△ADE中,由余弦定理:AD2=12+()2-2×1×cos=AD=. 3.①(2009年安徽高考试题第一题)(文)在△ABC中,C-A=,sinB=. (Ⅰ)求sinA的值; (Ⅱ)设AC=,求△ABC的面积. ②(2009年安徽高考试题第一题)(理)在△A